Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

"... хотя она и ребёнку понятна..."

 

За одной большой правительственной шишкой, живущей на правительственной даче, по утрам в одно и то же время приезжала служебная черная Чайка и отвозила его на работу к определенному времени. Однажды этот министр, решив прогуляться, вышел за 1 час до приезда машины и пошёл ей навстречу. По дороге он встретил свою Чайку, сел в неё, и водитель привез его на работу на 20 минут раньше обычного. Сколько времени длилась прогулка министра?

 

Да хрен его знает. Мало данных.

Скорость ветра? День недели? Курящий ли водитель?

Если бы после прогулки они заехали к нему домой, развернулись там и поехали на работу, он был бы на работе вовремя. Считая, что скорость Чайки в одном и другом направлении одинакова и едет она по одной и той же трассе, понимаем, что водитель не доехал до дачи половину временного интервала, на который приехали на работу раньше. Это 10 минут. Вышел министр за 60 минут до обычного времени посадки, а сел в машину на 10 минут раньше обычного времени посадки. Прогулка составила 50 минут.

 

Околошахматно-математическая задача.
Молодой человек за серьёзное преступление попал в тюрьму на длительный срок, который должен был провести в одиночке. Через простенький компьютер ему были доступны книги в библиотеке, а также некоторые игры, в которые он мог играть с другими заключёнными или с программой на сервере. От скуки он начал играть в игры, среди которых были шахматы. Сначала он не знал как играть, но в электронной библиотеке заведения нашёл правила. Он оказался достаточно способным. Когда он обыграл всех живых противников, он стал играть с обновляемым шахматным движком на сервере. Время шло. Движок становились всё сильнее, но росла сила игры и нашего героя. Без тренеров, без объяснений, он улавливал интересные закономерности и всё сильнее проникал в суть игры. Не имея ни имени в шахматном мире, ни званий, он превратился в настоящего шахматного монстра, даже не подозревающего о своей реальной силе. Шло время, срок кончился. Нашего героя освободили. Он вернулся в свой город и пошёл в Центральный шахматный клуб, где в то время начинался какой-то крупный опен со швейцаркой под 200 человек. Участвовать могли все: от гроссмейстера и до начинающего при внесении символического турнирного взноса. Так получилось, что он стал участником этого турнира, проводимого по всем правилам FIDE.
Какое минимальное количество партий должен сыграть наш герой в официальных турнирах и матчах, чтобы стать чемпионом мира, при условии, что все свои партии в этих турнирах он будет выигрывать?

 

nh2008, а если в задаче Монсоро "вышел за 1 час до приезда машины" поменять на "вышел за 1 час до начала работы", то решается устно?

 

6 гроссмейстеров сыграли в шахматы в 1 круг. Крамник сыграл вничью со всеми, кроме чемпиона мира Дин Лижэня, и поделил последнее место с Анандом, с которым играл в 1 туре. Дин Лижэнь сыграл вничью с Анандом, Карлсеном и Свидлером. Леко сыграл вничью со Свидлером. Других ничьих в турнире не было.
В каждом туре по крайней мере одна партия заканчивалась вничью. Каждый шахматист сводил вничью свои партии по меньшей мере в двух турах подряд. Два шахматиста, поделившие первое место, во 2 туре не встречались между собой.
Какие пары встречались в 5 туре и с каким результатом завершились партии 5 тура?

 

Перед вами стоит выбор, открыть красную дверь и проследовать за президентом Путиным в рай или открыть черную дверь и проследовать за президентом Байденом в ад. И в раю и в аду находится бесконечное (счетное) число людей. Каждый день в раю выбирают случайным образом одного человека и перемещают навечно в ад. В аду соответственно выбирают случайно одного человека и перемещают навечно в рай. Однажды перемещенные перестают участвовать в дальнейших выборах. Какую дверь вы откроете?

 

Я бы ад предпочел. А вдруг повезет, меня выберут- и я в рай пойду.

 

За Байденом значит. И чему равна вероятность везения?

 

Счетное множество - не лучший кандидат для введения равномерной меры

 

Такое условие говорит о том, что это, скорее всего, просто сон. Появление "счётного" количества людей в принципе не понятно.

 

Если хотите, то можете считать, что бог изначально поместил в рай и ад счетное количество людей. Вопрос, какой выбор оптимален, пойти за Путиным в рай или за Байденом в ад?

 

Скажите, а без Путина и Байдена задача не формулируется? Вы можете сформулировать задачу без политической шелухи?

 

Попробуйте сами сформулировать так, чтобы Вы смогли ее решить.

 

Хочется оказаться в раю, но не хочется идти за президентом Путиным? Тогда вам за президентом Байденом и с вероятностью 1 остаться в аду

 

Почему? Выбор происходит случайно, но равновероятен ли он для каждого? Никто ведь не накладывал ограничения на то, с какой вероятностью будут выбираться элементы и как будут добавляться.

 

Да, равновероятен, вероятность = 0

 

Ну при работе с бесконечностями требуется больше аккуратности. Чему в таком случае будет равна сумма всех вероятностей, тоже 0? Но ведь должна равняться 1.

 

Вероятность выбора кого-то на всем множестве в аду = 1, а вероятность выбора любого конкретного человека = 0. Сумма здесь ни при чем, так как не определена

 

Если не определена, то у Вас и вероятностного пространства нет, и вероятности соответственно неопределены.

 

Бесконечная сумма не определена

 

Получается, что выбор людей не может быть равновероятен, как верно заметил nh2008.

 

Если не равновероятен, то тогда непонятно, что означает "выбирают случайным образом" из Вашей формулировки задачи.
Ротацию кадров с бесконечностью можно организовать очень по-разному

 

Верно. Вот попробуйте например найти два варианта ротации, для которых оптимальный выбор отличается.

 

В раю все должно быть строго случайно, это в другом ведомстве могут нахимичить... Поэтому за Байденом все равно лучше не следовать

 

Не знаю, не знаю. Нестрогие рассуждения какие то, в математике с таким подходом легко ошибиться, да и в жизни тоже.

 

Какая формулировка, таков и ответ. Я сделал самое естественное предположение о смысле фразы "выбирают случайным образом", что применительно к счетному множеству равновозможных альтернатив означает вероятность = 0. Если же полагать, что выбор не равномерно случаен, то поди догадайся, что Вы на самом деле имели ввиду из континуума всех методов ротации...

 

Ваше "естественное предположение" очевидно приводит к противоречию с тем, что сумма вероятностей должна равняться единице.

 

Хорошо, тогда встречный вопрос: чему равна вероятность того, что два числа, загаданные наудачу ("выбирая случайным образом") из всего натурального ряда, совпадут?

 

Укажите алгоритм выбора чисел и я дам Вам ответ.

 

Дискретный случай, как и исходная задача.

В исходной задаче будем рассматривать несколько подмножеств для каждого из множеств.
1. Исходные элементы, т.е. бывшие изначально.
2. Приходящие "через дверь" элементы, т.е. вновь прибывшие.
3. Приходящие от противоположного множества и прибывшие навсегда.
Из третьего подмножества элементы уже не выбираются для передачи.
Сначала об "именах" элементов. Имена - это целые числа, кроме нуля. Для добавляемых — положительные, для существовавших изначально — отрицательные. Кроме имён существуют ещё и их номера. Номера тоже целые без нуля. Исходные перенумерованы отрицательными целыми не важно как, главное они имеют имена, совпадающие с их исходным номером. Вновь прибывающие получают имена автоматически как следующее за максимальным из ранее выданных.
Итак, у элементов есть "имена" и номера. Номера в принципе могут не совпадать с именами, но главное, что номера без пропусков, а числа имён элементов возрастают в порядке возрастания номеров. При этом 1 соответствует прибывшему элементу с минимальным именем, а -1 — исходному с "максимальным именем".
Пусть равновероятно выбираются элементы из первой и второй группы, т.е. вероятность выбора группы будет равен 0.5. Если вторая группа пуста, вероятность выбора из первой пусть будет равна единице. В первой группе вероятность выбора элемента равна произведению вероятности выбора элемента из первой группы (он может быть 0.5 или 1.0 по нашему построению) умноженному 2 в степени "номер элемента" (номера отрицательные) Получим сумму отрицательных степеней двойки. Аналогичное распределение сделаем для подмножества вновь прибывших элементов, но т.к. там конечное количество элементов, недостающую до 1.0 внутри группы часть, добавим к вероятности выбора первого элемента группы.

При таком распределении вероятностей получим, что все до единого элементы (которые были изначально, и которые добавлялись) будут "переданы навсегда" из одного множества в противоположное.

Пусть вероятность выбора числа n равна 1/(2^n)

Alexander, Вы, как человек считающий себя умным, если судить по фразе

без труда найдёте сумму вероятностей для каждого натурального числа. Это и будет ответ на Ваш вопрос.

—- добавлено: 21 Jul 2023, опубликовано: 21 Jul 2023 —-

Вы тоже не указали как выбираются элементы. Можно сделать так, что будет выгодна стратегия "попробовать попасть навечно" куда считаешь лучшим. Я это описал в предыдущем, если не склеится этот с тем посте. Скорее всего, можно сделать и так, что выгоднее попасть "через дверь" куда считаешь выгодным. Тогда каждый раз при распределении вероятностей надо искусственно занижать вероятность перехода для вновь прибывших.

 

При таком выборе получается, что лучше пойти за Байденом. Возникает резонный вопрос, а существует ли такой алгоритм выбора при котором было бы выгодней идти за Путиным?

 

Простое математическое условие, означающее случайный выбор:
∀n,m∈N (p(n)=p(m))
Чему равно p(n)?

 

Это неочевидное допущение; по условиям задачи скорее можно предположить, что все вероятности равны

Смысл написанного мною только в том, что я считаю Вас достаточно умным и заодно математически образованным, чтобы оценить шутку

 

Я же уже показал Вам, что такого равномерного распределения не существует, так как для любого значения p=p(n) сумма вероятностей не может равняться 1. Что непонятного?