Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Возьмем любой 21-дневный промежуток. Это даст нам 21 число количество партий, сыгранных от начала промежутка до конца данного дня. Какие-то два из них будут сравнимы по модулю 20. Разность между ними будет 0 по модулю 20, и равна числу игр, сыгранных между этими днями. Из-за ограничений на количество партий эта разность не может быть 0 и не может быть 40 или больше (21 день максимум 36 партий). Поэтому она будет ровно 20.

 

Ловко. А если вместо 20 дней взять 16? Утверждение справедливо, если вместо 20 дней взять любое число от 1 до бесконечности.

 

Где Вы, Gridnev, эту задачу нашли? Краткий намёк как разрезать ниже.

 

Ну это простая задача. Более интересным был бы вопрос — сколько различных способов существует, какими можно разрезать на две равные по площади части с помощью карандаша и линейки.

 

Ну разве так сложно покрутить красную линию вокруг точки ее пересечения с серединой толстого выступа?

 

А если прямоугольники подобны, но не являются квадратами?

 

Я имел ввиду пересечение красной линии и серединной линии большего прямоугольника исходной фигуры параллельно длинной его стороне. Все работает и для прямоугольников

 

Да, это еще часть решений. Но есть еще решения.

 

Разумеется. Например, если рассматривать исходную фигуру как объединение 2-х непересекающихся прямоугольников, то прямая через их центры тоже поделит площадь пополам. Это будут еще 2 отличающиеся линии. а если еще повращать немного, не выходя за направляющие вокруг точки пересечения этих линий...

 

Краткое пояснение:


Оранжевая линия линия делит фигуру пополам.
Пунктирную линию можно также направить вертикально и получить второй вариант.

 

Интересно, две части — это две фигуры, или два набора различных фигур?

В каком-то смысле, оранжевая линия делит две фигуры на три фигуры. Решение ли это?

 

А я имел в виду случай, когда данная линия пройдёт через углы внутреннего и внешнего прямоугольников, т.к. их диагонали будут лежать на одной линии. Тогда не получится так просто её вращать вокруг точки пересечения с серединными линиями прямоугольников. Или получится?

Когда внутренний треугольник мал, его можно развернуть на 90 градусов, сохранив условие подобия фигур. Но нас интересует именно случай, когда диагонали на одной прямой.

В общем случае очевидно, что при вращении на малый, но всё же конечный угол, мы меняем площади фигур на одинаковые величины. Т.е. площади обеих фигур остаются равными. А значит решений существует бесконечно много.

При всём уважении, учитывая, что задача для школьников, изучивших понятие центра фигуры, а может быть и центра масс на физике, не могу согласиться с получением трёх частей, две из которых считаются "отдельной фигурой". Вряд ли школьники полагают, что "так можно".

 

Действительно, решений получается бесконечно много, но grizly хотел еще решений
Думаю, что дополнительных решений тоже бесконечно много, если покрутить разрезающей линией между двумя направляющими от правильных разрезаний на 3 фигуры.

И правда, в условиях задачи было требование разрезать именно на 2 фигуры...

 

То что? Это уже первое не самоочевидное утверждение, здесь доказывать нужно.

 

Почему задача для школьников? У меня не для школьников, у меня для всех. Я, чтобы не усложнять, конечно, имел в виду, что две области, на которые курятник разрезан сами могут несвязными.

Если решение задачи определить только на связных областях, тогда нужно будет считать при каком соотношении каких из измерений курятника дополнительные решения делят его на связные области, а при каких на несвязные.

Кстати, и в задачах для школьников подобные ограничения типичны при решении уравнений, когда нужно найти все решения, если множетсво решений ограничено на множестве действительных чисел. Тогда тоже возникают условия для параметров, чтобы не выпустить решения в область рациональных чисел.

 

Ну вот, например,

Здесь ограничение действительными числами усложняет задачу.

 

А что доказывать?

Делим фигуру на прямоугольники, диагонали прямоугольников на пересечении дают центры этих прямоугольников. Эти точки лежат на серединной линии прямоугольников. Пересечение серединной линии с предыдущей, обозначенной красным, линией разреза дают ту самую точку, через которую можно провести (в общем случае) бесконечно много других решений. Одно из которых показано синей линией. Легко понять, что такое изменение положения линии разреза не изменит площади фигур, т.к. добавляемые и удаляемые фигуры к одной и другой фигуре (залиты светло-коричневым цветом) имеют одинаковую площадь.

Как показано выше, способов (в общем случае) существует бесконечно много.

Рассматривать другие варианты, чтобы ответить на вопрос "сколько способов существует" не имеет смысла, т.к. их уже бесконечно много. Сколько бы мы не добавили, больше чем "бесконечно много" уже не получим.

Более интересен случай, когда большой и малый прямоугольники подобны и диагональ меньшего из них лежит на диагонали большего из них.

Тогда красная линия пройдёт тоже через ту самую диагональ, но уже крутить её вокруг серединной точки так просто не получится. Или получится? Если получится, то тогда надо это показать. Предоставляю эту возможность другим. Именно в этом и состоял мой вопрос к Alexander-у, указавшему на решение с поворотом прямой вокруг точки.

Кстати, вопрос о том есть ли ещё решения, которые можно построить с помощью линейки и карандаша в том частном случае может оказаться не тривиальным. (а может и тревиальным) Может быть ситуация как с задачами о квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба, которые не решаются с помощью циркуля и линейки.

Может быть комплексных?

 

Да, тогда вращение вокруг серединной линии не проходит...
Странно, grizly требует доказательств, а сам ни одного соображения не привел. Так это не работает

 

Тонко насчет рациональных чисел...

 

Ту фразу, которую я процитировал, т.е то утверждение, которое не сделал Александр, а поставил три точки, потому что он не знает так это или нет, и доказать либо опровергнуть не может.

Такое вращение относится к тому, что я назвал самоочевидным. А у Александра речь о вращении вокруг другой точки.

Под сколько имеется в виду полное множество решений. Если не нравится "сколько", может заменить на "укажите все решения".

Тьфу. Да, комплексных.

 

Так я вас ничего не заставляю. Не хотите решать или не можете — не решайте. Здесь все исключительно добровольно.

 

"Укажите все решения" = "множество прямых, делящих фигуру на две части равной площади".

Реально доказать, что других возможных построений с помощью линейки нет, может оказаться гораздо более сложной задачей.
Приведу пример. Докажите, что с помощью циркуля и линейки нельзя произвольный угол разделить на 3 равных угла.
Эта задача известна ещё с античных времён. Есть обоснование (доказательство), что это невозможно в общем случае. Самого доказательства я не знаю. Сам не думал над этим и готового доказательства не искал.

Кто-то (А) попросил доказать теорему Пифагора. (Б) Доказал эту теорему. (В) Потребовал указать число способов доказательства теоремы Пифагора и привести их все. А (Г) решил, что и этого мало и потребовал доказать теорему Ферма (Великую).

 

Ну ладно, если такая задача кажется слишком сложной, то вот еще одна производная задачка от первоначальной.

С помощью карандаша и линейки были построены 3 различные прямые проходящие через центры прямоугольников и делящие курятник на две равные по площади области. Они указаны на рисунках здесь и здесь (нарисована одна, но вторая строится аналогично, если удлинить нижний прямоугольник вверх). Докажите, что они пересекаются в одной точке.

Это как раз точка, через которую Александ крутить хотел.

 

Я не про это. Выскажите какое-нибудь содержательное утверждение. Ну например, что кроме указанных разбиений других нет, или наоборот приведите что-то оригинальное. А я со своей стороны обещаю подумать, насколько это самоочевидно

 

Да с чего же вы вдруг так решили? В указанном мною пересечении 2-х линий находится центр тяжести исходной фигуры. А дальше, как вы изволите выражаться, самоочевидно

 

А какое вы утверждение для начала собрались доказывать - что при повороте прямые делят на равные по площади части или кроме указанных не делят? Вы же не сформулировали.
Центр тяжести не имеет здесь отношения. Это площади взвешенные расстоянием, а не единицей.

Самоочевидно у меня обозначает, слишком тривиально, чтобы я просил доказать. На всякий случай говорю, если непонятно.

 

Ранее все было изложено, прочитайте внимательно

У нас все исключительно добровольно, чтобы настаивать на доказательствах

 

Если вы не закончили предложение, то как не читай отсутствующей информации там не будет содержаться. Еще раз цитирую —

О настаивать никто и не говорил, кроме вас. А добровольно - решать.

 

Странно очень, что вы выдвигаете некое утверждение, а доказывать его предлагаете кому-то еще. Если это означает, что вы сами неспособны, то тогда вероятно стоит вам помочь

 

Хоть вы видимо не знаете, но такие задачки по математике, где предлагается доказать некоторое утверждение, довольно типичны.

Но сама фраза понравилась. Смешно было бы услышать такое экзаменатору от студента на экзамене.

 

В итоге - сможете ее решить, или нужна помощь клуба?

А вы правда себя преподом чувствуете?

 

У вас какой-то травматический опыт был связан с преподавателями или экзаменами, что вы ведете себя так, как будто попали на передачу "Поле чудес"?

 

Нет, это вы очень забавно надуваете щеки

 

Ну по крайней мере выяснили, что быть "преподом" вы считаете достижением, из-за которого "стоит дуть щеки".

 

Кажется, что Вы усложняете задачу совершенно не понимая как её решить. Если знаете, то приведите решение, а если не знаете, то не морочьте голову другим. Я свои соображения высказал. Приведите теперь Вы свои, желательно в виде решения.