Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Ну вот, а я-то голову ломал, пытаясь понять, каково-же условие задачи на самом деле

Ув. drowsy еще здесь? Очень меня заинтересовала эта задачка. Доказать, что нужной стратегии нет не получается, найти ее тоже пока не могу. Я еще подумаю, просто хочу убедиться, что есть возможность узнать ответ.

Это тяжёлая задачка ... Я вообще какой-то зверский препод, вечно даю задачки выше уровня моих студентов.

Короче, нужно всё свести к последовательнастям чисел и функану, что, мол, нужно найти функционал(назовём его "обобщенный предел", с хорошими свойствами). Обобщённые пределы с хорошими свойствами(типа более-менее все свойства пределов + функционал должен быть определён для абсолютно всех последовательностей) существуют. Первым их научился строить Банах. Прочитать можно, вроде, в талмуде Иосида "функциональный анализ", но там доказано в слабом виде, только основные свойства доказаны(но для этой задачки хватит, полстранички, вроде, всё построение). Можно конструировать покруче функционалы. В принципе, во многих достаточно толстых книгах это должно быть. В разных книгах способы построения могут быть разными (ой как не хочется в золотою книгу...)

Есть ещё какое-то симпатичное построение обобщенного предела через теорему о компактификации Стоуна-Чеха(о том, что можно компактифицировать пространство так, что все непрерывные функции однозначно продолжаться), но где можно прочитать я не помню. Зато, вроде, при таком способе все свойства функционала получаются почти бесплатно.

drowsy, нехорошо так издеваться над человеком Но должен сказать, Вы так хорошо замаскировали задачу, что решение не приходит в голову
Не ответил на ПМ, ибо не знаю, что ответить. Я мехматчик, но к математике и её преподаванию много лет не имею отношения - только решаю задачки, чтобы мозги не деревенели. Последний раз ( и единственный, кроме диплома) сделал самостоятельно в математике - доказал(по работе понадобилось) - что тело на подставке, колеблющейся гармонически с трением (покоя и скольжения) само начинает колебаться почти гармонически. Математики обычно говорят, что будет уход(по аналогии со случайным блужданием) - и я так думал. Но наверняка это было известно раньше

Grigoriy, там и отвечать нечего. Аспирант-препод, который рисует x^3 пот трём точкам как прямую линию и элементарные пределы не может сделать, да и вообще за весь семинар ничего не может решить, это нечто.
Ну там мне предположили, что, может, андерградуата тот чел не в математике делал, а в рисовании. Но это не по теме задачки.

А, хорошо что вы здесь. Один уточняющий вопрос - мудрецы отвечают независимо друг от друга или слышат ответы предшественников?

независимо отвечают

Ясно, тогда придется подумать

Кстати, drowsy, насчёт Вашей дымовой завесы. Как-то мне дали задачку: найти сечение 4-мерного куба 3-мерной гиперплоскостью перпендикулярной главной диагонали в центре. Я завёлся, день продумал, применил теорему Крейна-Мильмана, посчитал, представил. Сказал задачу Гене Архипову(вероятно знаете; мы вместе работали) - он призадумался секунд на 20 и выдал ответ

Честно говоря, мне тоже ничего лучшего в голову не приходит. Хотя с моими скиллами в геометрии для меня такая задачка и в случае трёхмерного куба тяжела Я ж действ. анализом и эргодической теорией занимаюсь.

Правильно ли я понимаю, что утром лампочки включают (случайным образом, одну или две), а ночью - свет у всех выключен. Или мудрецам еще и спать не дают?
Второй вопрос - как включаются лампочки до выбора стратегии? Случайное количество, случайным образом?

Cчитайте что в той задачке день=сутки. Какая разница, спят они или нет ? Вы ещё спросите, чем их кормят
Им же за бесконечное число дней любая баланда надоест.

Говоря мат. языком, им каждый день дают нулик или единичку информации. Получается посл. из нулей и единиц.

То есть Вы имеете в виду, что "включить" - это не обязательно перевести лампочку из состояния "выключена" в состояние "включена", а просто щелкнуть выключателем?
Вы не ответили на второй вопрос.

>>Второй вопрос - как включаются лампочки до выбора стратегии? Случайное количество, случайным образом?

Да как тюремщику в голову взбредёт, так и включают. Но только конечное число дней, а потом выбирают одну из стратегий. И тюремщик по ней, опять же, как ему в голову взбредёт, врубает либо всегда одну лампочку в день, либо всегда две.

Ну, Гена вообще числовик Просто он классный математик и блестящий олимпиадник

Каждый день тюремщик производит некую операцию с тремя нулями?
В результате которой (после выбора стратегии) получается комбинация с одной единчкой и двумя нулями, или с двумя единичками и одним нулем?
И каждый мудрец получает временную последовательность из нулей и единичек?
Если так, то я не очень понимаю в чем сложность.

Сложность в том, что свет зажигают в случайных камерах, постоянно только кол-во горящих лампочек.

В чем проблема каждому мудрецу произвести усреднение по большому числу дней? Каждый считает сколько было светлых дней за три месяца и делит это число на 90, заменяя последовательность нулей и единичек последовательностью таких чисел. А дальше смотрит, вокруг чего колеблется последовательность (0.33 или 0.66). А вот что будет до выбора стратегии - надо прикинуть. Прикинул - колебания вокруг 4/7 или 1/2, если тюремщик может оставить свет выключенным.

Не пойму решение. Вроде я пример выше приводил ? Допустим у мудреца посл. такая :
10 нулей, 100 единиц, 1000 нулей, 10000 единиц, 1000000 нулей, 100000000000 единиц,
100000000000000000000000000000 нулей, 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 единиц, ну и так далее, идея понятна. Вокруг чего колеблется эта последовательность ?

Она ж по синусу гуляет туда-обратно между 0 и 1 и к каждому числу из [0,1] подходит сколь угодно близко.

Ваша последовательность - нетипична. Я же предположил, что тюремщик действует случайным образом (в рамках выбранной стратегии - включать каждое утро одну или две лампочки), а значит получает типичные последовательности. Появление 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 единиц подряд у одного мудреца аналогично сбору всех частиц в левом верхнем углу ящика. Таким образом, с вероятностью близкой к единице обычный физический метод, который я привел, сработает. Согласен, что можно придумать специальные случаи, когда это не так, но общее число этих специальных случаев пренебрежимо мало по сравнению с общим числом вариантов.

P.S.
Посмотрел обсуждение и увидел, что Вас интересует строгое математическое доказательство, учитывающее и специальные случаи.

Интересная задачка. Мой первый ответ оказался неверным.

Ответ: каждый мудрец считает сумму своей последовательности и делит ее на число членов последовательности. Если ответ меньше, чем 0.5 - выбирает единичную стратегию, если больше - двоечную.

drowsy, прокомментируете?

я ж написал пример последовательности, для которой не работает. Ваше новое предложение с суммированием методом средних арифметических тоже падает на этом примере. А вообще решение я уже написал. Надо доказывать, что существуут функционал "обобщенный предел" с определёнными свойствами, расширяющий понятие предела на _все_ последовательности. Или просто воспользоваться теоремой о его существовании. Хотя студентам-математиком, конечно, надо про него знать

PS функционал = линейный функционал

Честно говоря, не понял. Прежде чем объяснять свое решение, я хочу понять, какой ответ у задачи. Вопрос был: что надо делать мудрецам, чтобы два из трех угадали бы избранную стратегию. Каждый мудрец видит перед собой последовательность нулей и единичек. Что он с ней делает, чтобы сделать выбор? Считает некий обобщенный предел?

>> Считать некий обобщенный предел?
да. Вроде можно выписать формулу для него(у меня в конспектах есть нечто, но я не могу дать ссылку, в какой книге это есть), Банах так строил, но там довольно нетривиально, то ли инфимум от супремума неких сумм, то ли наоборот.

Понимаю. Интересно, в чем ошибочность моего решения. Пусть a_i, b_i, c_i - это три последовательности для трех мудрецов. Предлагаю рассмотреть для каждого мудреца такой объект: (сумма всех a_i при i от 1 до n)/n. Пусть n очень велико (гораздо больше индекса N, при котором произошел выбор стратегии), но я не устремляю n к бесконечности, так как предел может не существовать. В такой ситуации роль первых N членов незначительна, и можно сказать, что выбор стратегии происходит сразу. Итак, выберем это гигантское (но конечное) n и вычислим эти средние - получим числа A, B, C. Каждое из них - на интервале [0 1]. A+B+C равно 1 или 2, в зависимости от внешней стратегии. Мне кажется, что первый мудрец может сделать выбор: если A>0.5 - выбираем двойку, если A<0.5 - выбираем единичку, остальные - аналогично. В такой ситуации мне кажется невозможным исход, при котором ошибутся двое: скажем A<0.5, В<0.5, но A+B+C = 2 невозможно, как и A>0.5, В>0.5, но A+B+C = 1.

в этом рассуждении такое кол-во ошибок, что комментировать я не буду, полезнее самому хотя бы в этом разобраться

Так нечестно! Я же не могу только задачи решать
Скажите, в чем тут дело, а?

1. момент когда выбирается стратегия не известен. Так что вы можете выбирать какое угодно большое число, но всё равно промазать. Метод, который учитывает только конечное число первых дней не может работать!

2. средние не сходяться никуда — смотрите на пример. Так как конечное число первых членов ни на что не влияет, то посторяя единички миллиарды раз, мы забиваем всё,что было до этого, и предел идёт к 1. Потом идёт ещё больше нулей, они забивают всё, что было до этого, так что средние идут к нулю. А на самом деле для любого числа из [0,1] они к нему в какой-то момент подходят на любое наперёд заданное эпсилон, так что когда вы выбираете N случайное большое число, никаких 1/2 не будет, будет какая-то случайная хрень из [0,1].

drowsy просто редиска, туман напускает.
Решение же просто:
если лампочка в последний день горит - мудрец называет 2-ую стратегию, не горит - 1-ую. Т. обр, имеем 2 верных ответа.

лол

Я и не утверждал, что они сходятся. Из Вашего примера хорошо видно обратное - мне казалось, я четко сформулировал. Я только предположил, что возможно остановить игру на гигантском, но конечном n>>N, где N - индекс, при котором выбрана стратегия.

Ах черт, Grigoriy, - Ваше гораздо проще!
Но я был близок

Grigoriy, киньте сюда и теоремы Ферма тогда док-во может тоже кто поверит