Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

У рациональных последовательностей (сходящегося) типа 3,9 3,99 3,999 ... не всегда бывает такого же рационального предела-тезки, но зато всегда бывает предел вещественный. В отличие от всюду плотных рациональных, всюду плотные вещественные числа вдобавок полны по порядку, то бишь у них предел всегда есть

 

Это не только мое подозрение. Существует школа философии математики, «финитизм», которая (помимо прочего) полагает, что бесконечность - лишь условность.

 

От бесконечности математике не уйти (к счастью ). Нагромождение высших бесконечностей (т.н. больших кардиналов) в теории множеств может показаться бессмысленным и удалённым даже от довольно уже абстрактной математики, но все равно от бесконечности не уйти.

 

Спровоцированная Эдвардсом дискуссия подводит к очень интересному и неожиданному результату. Все знаем, что среди вещественных чисел (вкл. отрицательных) нет наименьшего или наибольшего, они всюду плотны и полны по порядку. Еще знаем, что подможество дробей p/q (p и q целые числа) также всюду плотно, но счётно, то бишь дроби можно пронумеровать натуральными числами 1, 2, 3, .... (всех вещественных пронумеровать нельзя, их как-бы бОльше натуральных ). Русский математик Михаил Яковлевич Суслин (1894 – 1919) спросил можно ли счётное подмножество дробей заменить на требование покрытия прямой вещественных чисел таким же счётным множеством конечных отрезков, что очевидно имеет место для вещественных - целые числа, положительные и отрицательные, разбивают вещественную прямую на счётное число отрезков длиной в единицу. Оказалось, что математика не может решить этого вопроса!! :mad: Наподобие проблемы параллельных и неевклидовых геометрий мы свободны выбирать будет ли счётное покрытие отрезками уживаться с наличием счётного подмножества дробей или нет! Если нет, то получаем т.н. континуум Суслина, который совсем не похож на прямую вещественных чисел и который трудно себе представить :/

 

Edwards!
Я Вам "подсунул" хорошую статью, написанную профессионалом специально для того, чтобы объяснить этот вопрос чайникам. Эта ссылка на 100% то, что Вам нужно. А вот что не нужно, так это пытаться заменить несложный (!), квалифицированный, хорошо написанный текст кустарными рассуждениями. Хотя я, безусловно, мог бы пересказать его здесь.

Так что чем ругаться не по делу, Вы бы его просто почитали. Неужели плохо написано?

И, это, текст таки на 5 страницах, а не на 25.

 

Ув. Хайдук , это было ритуальное заклинание . Теперь ожидаем возвращения инфолиократа

 

Edwards, а ты ещё найди где-нибудь теорему Банаха-Тарского .

Интересно, сколько (с точки зрения данной философии) точек на прямой? Или не существует ни точек, ни прямой?

 

Заметим, что это точка зрения Гильберта

 

А противоположная, насколько я помню, Вейля
Потенциальная и Актуальная бесконечность соответственно.

 

Хайдук, справедливости ради замечу, что я не вижу никаой последовательности в вашей формуле, вижу некую бесконечную сумму слева и результат справа. По-моему, достаточно путать Edwards-а.

А то мы ещё вспоним, что
4=2+1+1/2+1/4+...+1/2^N+...
И таких примеров можно привести бесконечное множество.

 

evgeny, попросту хотел дать Эдвардсу знать об идейном происхождении популярной десятичной записи 3,999... Дабы не перегружать изложение, нароком не упомянул о последовательности частичных сумм

3,9 = 3 + 9/10

3,99 = 3 + 9/10 + 9/10^2

3,999 = 3 + 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3

3,9999 = 3 + 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + 9/10^4

и т.д.

Эта последовательность сходится, разумеется, к 4-ём

 

Раз от матанализа уйти не удаётся, давайте такой вопрос. Может ряд сходится абсолютно если про его член An нельзя сказать, что он An есть o(n)?

 

Ну, это детские шалости.

Вот ещё одна:

Построить такую последовательность a_n, что любое действительное число есть её частичный предел, причём если какая-то подпоследовательность a_n_k cходиться к пределу X, то для любого целого числа m подпоследовательность со сдвинутыми номерами m+"n_k" также сходится к X.

Я это на мехмате на колках студентам часто давал.

 

Хорошо, что у меня были более добрые преподаватели

 

Я не очень в курсе деталей этой философии. Насколько я знаю, важно лишь понимать, что бесконечность - это только условность, договоренность между математиками и правила как с ней оперировать тоже лишь договорные.

Нет никакой «актуальной» бесконечности, иначе это приводит к парадоксам, типа парадокса Гранд-отеля Гилберта.

 

А Кантор и Гильберт значит ничего в математике не понимали
«Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» © Гильберт

 

да ладно, вроде несложная задачка. Например, такая последовательность подходит:
0, 1, 1/2, 0, -1/2, -1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, 2, 7/4, 6/4, 5/4, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, -1/4, -2/4, -3/4, -1, -5/4, -6/4, -7/4, -2, -9/5, ...
(т.е., идем от 0 к 1 с шагом 1, потом от 1 к -1 с шагом 1/2, потом от -1 к 2 с шагом 1/3, потом от 2 к -2 с шагом 1/4, потом от -2 к 3 с шагом 1/5, и т.д.)

 

Раз уж идет дискуссия про основания математики, вот такая забавная задачка: доказать, что если объединение двух множеств имеет мощность континуум, то хотя бы одно из этих множеств имеет мощность континуум. Естественно, предполагается, что континуум-гипотезу использовать не надо

Несмотря на свой довольно абстрактный вид, эта задачка имеет простое, наглядное, я бы даже сказал, геометрическое, решение.

 

Да я ж говорю, халява.

 

В принципе можно и должно требовать доказательства для любого предложения, которое не из аксиом, хотя верхнее предложение выглядит весьма очевидным для бесконечных множеств (если не замешана Аксиома Выбора ): меньшая мощность, добавленная однократно, не колышет такую же или бОльшую мощность. Вот если бы объединяли бОльшее число множеств, чем мощности каждого из них, тогда другое дело

Не могу сообразить причём тут континуум-гипотеза :rolleyes:

 

В результате этих непрекращающихся договоренностей вырисовывается весьма обширная и трудная (что неожиданно для не более чем условностей) теория (бесконечных) множеств

"Парадоксы" эти давно перестали быть такими, к ним привыкли.

 

учтите, однако, что задачка эта предлагалась на первом семестре первого курса мехмата, в самом начале матана. Студентам только вот рассказали почему объединение счетного числа счетных множеств счетно, множество точек отрезка несчетно, в квадрате столько же точек, сколько на отрезке, и т.п. А про аксиому выбора и трансфинитные числа слышали только лишь самые любопытные из этих студентов...

ну, если предположить, что она верна, тогда совсем просто получается: если ни одно из двух множеств не континуально, тогда они не более чем счетны, а тогда таково же и их объединение - противоречие

 

Я даже вспомнил как решается Подсказывать не буду Хайдуку

 

Никогда не знал об том элементарном и, видимо, интересном решении, но по мне мощность объединения такая же, как у не меньшего из двух заданных множеств, чем вопрос решен :rolleyes:

 

Да, но задачка в том и состоит, чтобы придумать д-во этого факта(и догадаться до него, если не знали). Это нетривиально.

 

Согласен, Григорий, но если это начнём доказывать, далеко не заедем. Кстати, должны быть разделы математики, обходящиеся без арифметики, скажем топология или теория групп, должны быть еще

 

Хайдук, представьте, что Вы - студент первого курса мехмата, и получили эту задачку на дом, или (если не повезло) на контрольной, или (если уж очень сильно не повезло) на устном экзамене. Как Вы думаете, ответ

будет преподом засчитан?

Я вот думаю, что Вы так легко не отделаетесь (вообще, насколько я помню, на мехмате попытки решить элементарную задачку привлекая для этого "более продвинутые" методы, редко оставались безнаказанными). Скорее всего, преподаватель, заметно оживившись, предложит Вам доказать этот общий факт, попутно обосновывая также все утверждения, которыми Вы пользуетесь и которые не входят в первый семестр матана. Не сомневаюсь, что сегодня Вы с этой задачей справитесь. Однако, справится ли студент первого курса?..

 

Согласен, Серж, на самом деле никогда не интересовался таким доказательством, но будет интересно посмотреть на Ваше остроумное

 

Исходя из этих знаний доказывается примерно так:

Сумма двух счетных множеств будет всегда счетным множеством. Рассмотрим:

множество A = {a0, a1, a2, a3 ...} и множество B = {b0, b1, b2, b3 ...}

Объединение A U B = {a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3 ...} объединеное множество очевидно имеет взаимно-однозначное соответствие с рядом 0, 1, 2, 3 ... , что по определению есть счетное множество. А отсюда очевидно что объединяя счетные множества несчетного никак не получить.

 

Я знаю такое док-во:

отобразим A и B на квадрат [0,1]x[0,1]. Если для каждого t\in [0,1] на вертикальном отрезке {t}x[0,1] есть точка из A, то очевидно, что А континуально. Если для какого-то t сечение {t}x[0,1] точек A не содержит, то оно целиком во множестве В и В континуально.

 

Очень изящно!

 

+64! На самом деле красиво.

Меня больше интересуют значительные и поэтому красивые идеи (вроде континуума Суслина ), чем задачки

 

Да, я и говорю, красивая задачка

Velior, а вот Вы таки воспользовались гипотезой континуума (откуда знаем, что если бесконечное подмножество континуума не континуально, то оно счетно?).

 

Ув. drowsy, Вы как-будто упоминали, что занимаетсь эргодической теорией. Там динамика гладкая и неустойчивая (случайная), не то, что фрактальная, правда? :rolleyes: Наверное никак нельзя распространить на дискретную динамическую систему как шахматы

 

Самолёт-разведчик летает по кругу радиусом 200 км со скоростью 1000 км/час. Из центра круга вылетает ракета с той же скоростью, всё время направленная на самолёт. Как скоро она поразит самолёт?
Задача забавна "ответом". Но я его увидел только после того, как решил её аналитически(это тривиально). Интересно было бы геометрическое решение