Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Пусть А и В - банаховы пространства. Является ли открытым мн-во линейных отображений А на В?
Вопрос тривиален для гильбертовых пр-в, а в общем случае не совсем.
С этой задачей у меня связаны сентиментальные воспоминания
Я сам придумал этот вопрос(т е он у меня возник при чтении одной книжки; разумеется это был известный факт, но в книгах я не нашёл), долго не мог решить. Спрашивал у Алексеева(редактор перевода Данфорда-Шварца), однокурсников функциональщиков - никто не знал. Потом уже решил

 

Григорий, меня очень волнует Гильбертово пространство квантовой механики, считаю, что оно и есть наш наблюдаемый (иногда) мир . К сожалению, не очень знаком с точной математической структурой. Не могли ли Вы, может быть не здесь, привести больше деталей и особенностей, даже не знаю каких - размерность, метрика, мера, топологические характеристики и т.д., все, что находите интересным и относящимся к делу. Спасибо от чайника

 

Хайдук, я не понимаю, что Вы спрашиваете. Если что такое гильбертово пр-во - то это банахово(т е полное нормированное) пр-во, в котором задана билинейная ограниченная функция - скалярное произведение, и норма - корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя.
А вот в физике я практически полный ноль, и сколько знаю, в кв. механике пр-во состояний имеет структуру гильбертова пр-ва (даже сколько помню, на самом деле соответствующее ему проективное, т е пр-во его лучей)

 

Не считал, но видимо никогда.

 

Поверхностный взгляд. Довольно скоро

 

Grigoriy, а вектора Гильбертова пространства (или соответствующего проективного) не обязательно комплексные числа, так?

 

Вектора - не числа, а вектора. Линейные пространства определяются над каким-нибудь полем, в частности, можно над полем действительных чисел, можно над полем комплексных.
Я,кстати, пропустил в определении требование положительной определённости формы и симметричности (т е скалярный квадрат - положительное число; для комплексного случая форма не билинейная, а эрмитова).

Вот определение из Вики:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_пространство
К сожалений, оно не копируется полностью(неотображаемые здесь символы), поэтому даю только ссылку

 

Правильно, не прочь забыть дураку :mad:

 

Траектория должна быть aрхимедовой спиралью, вроде бы. То есть надо посчитать длину архимедовой спирали. Формул наизусть не помню, по интернету рыться лень.

Понятно, у кого есть опыт работы с такого рода кривыми может, наверно, сразу догадаться о длине.

 

И Вы ошибаетесь

 

Я неточно воспринял условие и его соответственно набил тут
В книжке сказано так: "ракета управляется так, что всё время находится на прямой центр-самолёт". Для меня это было так, что её скорость направлена на самолёт
Прошу прощения

 

Grigoriy, а приведите, пожалуйста, аналитическое решение как вы его понимали

 

Я понимал условие так, как и написано - правильно, сформулировал тут неправильно.
Из условия следует, что перпендикулярная радиусу компонента скорости когда ракета находится на расстоянии r от центра равна v*r(радиус принимаем 1), т е радиальная компонента v*sqrt(1-r**2).
T e для расстояния от центра получаем диф ур
dr/dt = v*sqrt(1-r**2)
который легко решается

 

Не физическое какое-то условие теперь. Чтобы находиться все время на прямой, нужно наверно иметь скорость не константу. Нет?
Мне первый вариант больше напоминал реальность, но тривиальная аналитика не получалась. Долго думал....

 

Согласен с рассуждением #818, но по поводу изначальной формулировки "ракета движется точно на самолет" есть подозрение, что время бесконечно, как и было отмечено в #809

 

Как то при приёме на работу мне задали очень похожую задачку - в вершинах квадрата со стороной 1м расположились 4 черепашки. По команде судьи черепахи начинают ползти со скоростью 1см/сек, причём каждая черепаха смотрит и ползёт в направлении её соседки против часовой стрелки. Где и когда они встретятся?

 

Это простая задача. Если не наврал в подсчёте, через 100 сек. Но решать такое на интервью .... Бррр.

 

Нет, почему же. Имеем:
d(r**2) = (r-vdt)**2 + (vdt)**2 -r**2
отбрасывая высшие порядки, имеем
d(r**2) = - 2rvdt
2rdr = -2rvdt
dr/dt = -v
Вообще то сильное подозрение что я наврал(получилось, что скорость убывания такая же, как если бы цель стояла), но не вижу, где. И если не наврал, то не бесконечное.
P. S.
Видимо не наврал - в задаче Евгения точно также, а там я считал из других соображений

 

Где тут можно наврать в подсчёте? Без единой формулы всё решается.

Черепахи всегда будут находиться в вершинах уменьшающегося и поворачивающегося квадрата. Скорость сближения пары соседних черепах в любой момент 1 см/сек. Изначальное расстояние между парой соседних черепах - 100 см. Соответственно, черепахи встретятся в центре через 100 секунд. А форму спиралей, по которым они ползут, пускай враги ищут. Нас не просили по условию. Уверен, что потенциальный работодатель ждёт примерно такого решения.

Нормальная задача для приёма на работу. Не на умение считать, а на умение обходиться без счёта там, где он не нужен. Как я себе представляю, практически все математические задачки на собеседованиях таковы. Учить в школе матанализ или даже уметь писать формулы для их решения необязательно, скорее даже вредно.

 

Красиво.

 

Grigoriy, сразу так трудно сказать, где наврали, но ощущение этого есть
Эта задача по формулировке напоминает классическую "лев и человек". Я о ней узнал из отличной книги Литтлвуда "Математическая смесь". Задача в самом конце на стр. 138.

 

Решение Мобуту мне не нравится тем, что ключевой момент - что они сближаются со скоростью 1 м/сек - совершенно неясен для интуиции. Это то, о чём я писал Александеру. Т е с 1-ого взгляда это кажется ясным, а со 2-ого - не очень - т к получается, , что всё равно - что цель стоит, что движется перпендикулярно . Это совершенно антиинтуитивно и поразительно.
Впрочем, изложение Мобуту мне вообще очень не нравится Т е стоило бы прибавить слова "из соображений симметрии", говоря о том, что они всё время в вершинах квадрата. Это имхо делает картину сразу ясной для интуиции.
А дальше наши решения расходятся. Ясно( из той же симметрии), что они встретятся в центре квадрата. Далее, т к они в вершинах квадрата, компонента скорости к центру - v/sqrt(2), а расстояние до центра - a/sqrt(2), т е получаем те же а/v
Заодно получаем тот результат, который Мобуту так ясен с начала - что сближение пчёлок идёт с той же скоростью v

 

.

 

Я нашёл, где я наврал. Та же иллюзия, которая заставила меня написать "направлена на самолёт" вместо "находится на отрезке центр-самолёт". Вектор скорости ракеты вовсе не перпендикулярен векторy скорости самолёта, как предполагается в моей выкладке.

 

Конечно, но та перпендикулярная составляющая определит когда самолёт будет сбит

 

Григорий, а у ракеты не будет сил ударить самолёт , так как она начнёт летать параллельно самолёту, достигнувши того - ведь все 1000 км/час скорости ракеты уйдут на поддержание той же линейной скорости самолёта, дабы оставаться на отрезке центр-самолёт

 

Мне кажется, что задача Григория про ракету в первой формулировке довольно интересна . При скорости самолёта равной скорости ракеты решение скорее всего бесконечность хотя это ещё надо доказать. А как насчёт такой постановки: найти минимальную скорость ракеты при которой она настигает самолёт за конечное время?

 

В такой формулировке задача неинтересна. Рассмотрите всё в системе отсчёта в которой ракета неподвижна. Всё сразу станет очевидно.

ЗЫ ох блин, до чего неграмотно писать стал по русски

 

Вы шутите, что ли, я даже, on top of my head, не могу себе представить эту систему отсчёта :rolleyes:

 

Наверное годы берут своё , но в системе отсчёта ракеты ничего простого не вижу. Через теорему косинусов можно записать дифференциал расстояния, но там при этом получаются довольно корявые формулы.

 

А кто-нибудь выше решил уже задачу, чего-то не заметил? :rolleyes:

 

В варианте когда ракета всё время летит на самолёт решения не видел. Во втором варианте всё просто и решается простеньким интегралом.

 

В правильном варианте дело совсем не в интеграле - там всё просто, а в траектории ракеты - это полуокружность половинного радиуса, у которой диаметр - радиус первоначальной. Т е самолёт пройдёт 1/4 часть большой окружности, ракета - полуокружность. Мой вопрос и был с самого начала - как это увидеть геомeтрически, без интеграла?

 

Незнаю как насчёт геометрически, но можно увидеть легко тригонометрически
Из соображений постоянства угловой скорости вокруг центра получаем, что
r = Rcos(f) => x = R cos^2(f) = R/2 cos(2f) + R/2, y= Rcos(f)sin(f) = R/2sin(2f)
сдвигаем х на R/2 и получаем х' = R/2 cos(2f), y' = R/2sin(2f)
Вроде так. Ваша первоначальная формулировка задачи кажется мне интересней.

 

В принципе Мобуту почти правильно всё сказал, только нестрого.
Из соображений симметрии все черепахи всегда находятся в вершинах квадрата. Получается, что каждая черепаха (назовём её А) движется в данный момент времени t в направлении, перпендикулярном скорости её соседки по часовой стрелке (назовём её В). Другими словами, черепаха А движется по окружности с центром в В, а значит, А не удаляется от В. Таким образом, в системе координат с центром в начальном положении черепахи В, А покоится, а В приближается к А с постоянной скоростью v. Тогда время достичь центр квадрата t=a/v, где а - певоначальное расстояние между объектами.

P.S. На интервью я сразу сказал, что по симметрии ясно, что встретятся они в центре, а вот рассчитать время и траекторию сложнее (уже после интервью сообразил). Но никто это от меня и не требовал. Куда хуже щёлкать на интервью сходу такие задачки - тогда точно не примут на работу.