Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

У меня вот такой есть вопрос - существуют ли интересные задачники для школьников не старших, а средних классов. С занимательными задачками и с задачками олимпиадного типа. На английском или русском языке. Подскажите названия/авторов.

 

Да сколько угодно. Возьмите сборники задач олимпиад - там всюду указаны классы. В Кванте был специальный раздел - задачи для младших школьников(я помню, что Вы спрашивали о средних
Посмотреть можно у колхозников или скажем здесь:
http://ilib.mirror1.mccme.ru/
У Кванта кстати была английская версия - также под кураторством крупнейших учёных - видел в торонтской библиотеке.

У меня есть кое-что - правда немного и в неважном состоянии - но охотно дам на некоторое(неопределённое время)

 

Достаточно того, что строгость можно при желании навести. Это как при раздаче люлей: если уверен, что они раздадутся, то нечего тратить время на ненужный счёт. Хороший математик, как и хороший шахматист, должен быть ленивым.

 

В тёмной комнате стоит стол, на котором лежат монеты — 5 вверх решкой и 8 орлом. Нужно разделить их на 2 кучки таким образом, чтобы в каждой оказалось одинаковое количество монет решкой вверх. Монетки можно переворачивать. Напоминаю: всё происходит в полной темноте.

Решение действительно впечатляет. Если уже было, сильно не ругайтесь

 

Было, у Гарднера . Там этот "фокус" объяснялся на картах, что непринципиально.

 

Вот что у меня получилось:
Берём наугад 5 монет в 1-ю кучу, оставляя 8 во 2-й. После этого переворачиваем все монеты 1-й кучи. Задача решена.

 

Кажется можно так решить. Выбираем наугад 5 монет и переворачиваем их.
Ну вот уже решили
А как с ракетой, когда она летит на самолёт?

 

Кстати, можно с данным условием сделать 2 задачи, добавив вопрос: Как разделить монеты так, чтобы в 2-х кучах было одинаково "орлов"? Решения обоих задач удивительно похожи.

 

Решение Мобуту о черепахах уязвимо из-за спорной очевидности относительной скорости черепах.
Куда проще и убедительнее приближаться к центру, где произойдет встреча. Из соображений симметрии, черепахи - всегда в углах квадрата с фиксированным центром (точкой встречи) и, соответственно, движутся под углом 45 градусов относительно оптимальной траектории. Значит, их скорость относительно центра - v/sqrt(2).
Дальше делим расстояние на время

 

MS, как говорится, "те же яйца, только сбоку".
Высказывание "движутся под углом 45 градусов относительно оптимальной траектории" имеет такую же степень очевидности, что и скорость сближения черепах в решении Мобуту.

 

Угол между стороной квадрата (траектория реального движения) и его диагональю (оптимальное движение к точке встречи) - 45 градусов. Для меня - очевидно.
Но, конечно, могу доказать стого

 

MS, для меня это тоже очевидно .
Но для меня не менее очевидно и то, что если преследуемая черепаха в каждый момент движется перпендикулярно преследующей, то скорость их сближения будет такой же, как если бы преследуемая стояла на месте.

 

Муркенштейн,

Вы, наверное, правы. Просто, вероятно, лично мне психологически проще отталкиваться от физически неподвижной точки (Центра), чем от движущейся черепахи. Думаю, мой подход быстрее воспримется большим числом людей, хотя, конечно, чем выше культура, тем больше шансов на одинаковое восприятие.

 

Муркенштейн, Вы неправы. По крайней мере для меня что сближение происходит с v - совершенно неочевидно, а что приближение к центру - со скоростью v/sqrt2 - очевидно из того, что воспроизводится начальная ситуация. Я впрочем всё это уже написал в своём решении

 

Grigoriy, да, я читал Ваше решение и ожидал подобной реакции. Видимо, мы просто по-разному воспринимаем очевидность ситуации при перпендикулярном движении цели. Могу на досуге выписать дифуры для обоих случаев и проанализировать подробнее, но я уверен, что они будут легко сводиться один к другому.
Помню, таким способом когда-то решал обобщённую задачу, в которой N черепах находились в углах правильного N-угольника.

 

Да, по поводу общего случая (n черепашек): в моем подходе все уже сделано: нужно только умножить скорость на косинус другого угла. А мобутовский подход еще нужно обобщить, посколько относительная скорость черепах совпадает с абсолютной только для случая 4-х черепах.

 

Ничего сложного нет и в подходе Мобуту. Скорость сближения нужно лишь умножить на (1+cos(a)), где a - величина угла нашего N-угольника.

Кстати, доказать, что перпендикулярное движение цели нисколько не влияет на скорость сближения, можно гораздо проще. Пусть изначальное расстояние между А и Б будет x. За промежуток времени dt и А, и Б проползут расстояние dx. Тогда если Б не движется вовсе, то новое расстояние между ними будет составлять x1 = x-dx. А если Б движется перпендикулярно А, то x1 = sqrt((x-dx)^2+dx^2) = sqrt(x^2-2x*dx+2dx^2) = x*sqrt(1-2(dx/x-(dx/x)^2)). Поскольку dx/x-(dx/x)^2 -> 0, то можно полагать, что x1 = x*(1-(dx/x-(dx/x)^2)) = x-dx+(dx^2)/x. Величина (dx^2)/x - бесконечно малая более высокого порядка, при дальнейшем интегрировании учитываться не будет, и ею можно успешно пренебречь. Таким образом, снова получим x1 = x-dx, что и требовалось доказать.

 

Муркенштейн, Вы опять повторили то, что я уже написал в #823 Эта выкладка не яляется конечно очень сложной, но что результат очевиден... Нет уж, увольте

 

ÿпс... Туда уже не смотрел - другая задача, как-никак .

Результат очевиден по нескольким соображениям, из той же симметрии хотя бы. Но не спорю, на экзамене к этому могут запросто придраться.
Поэтому как хорошо, что все свои экзамены по математике я уже сдал и могу сам для себя определять степень очевидности .

 

Попытался примирить оба подхода на уровне элементарной геометрии.
Если а - угол правильного многоугольника, в вершинах которого стоят черепашки, и r - расстояние до центра, то

время, за которое черепашка достигнет центр,

t1=r/(v*cos(a/2))

время, за которое черепашка настигнет соседку,

t2=(2r*cos(a/2))/(v*(1+cos(a)))

Иными слова,

"если черепашки встречаются в центре, то

2cos(a/2)*cos(a/2) = 1+cos(a)
"

 

Задача известная, если решение уже знаете, не постите Ж)

Поймали трёх пришельцев, один правдивец(всегда говорит правду), один лжец(всегда лжёт)
и один шизофреник(отвечает случайным образом). Язык они наш понимают, а мы их язык нет.
Им разрешено задать три вопроса(либо по одному каждому, либо 2 вопроса одному и один кому-то или все три вопроса одному пришельцу), причём ответ должен быть либо да либо нет.
Они отвечают на своём языке, "ЫЫ" или "УУ", но что да, а что нет мы не знаем. Как за три вопроса определить кто из них кто? Сами они знают кто есть кто.

 

Попроще пока спрошу, а то та задача зверь. ж)

Вы очутились на дороге между двумя городами, городом Лжецов и городом Правдецов,
но не знаете в какой стороне какой город. Вам повстречался местный житель. Он либо лжец, либо всегда говорит правду. Как с помощью одного вопроса выяснить, в какой стороне какой город?

 

Ну, вторая задача весьма подробно разобрана у Гарднера (с учётом не только матлогики, но и психологии). А вот первая поинтереснее, с ходу решения не вижу. Буду думать.

 

"Если спросят в какой стороне город Лжецов (Правдецов), Вы что ответите?"

Каким бы ни был житель (лжецом и правдецом), в ответе укажет на город Лжецов (Правдецов).

 

Зачем психология? :rolleyes:

 

Это и есть исключительно формальный подход (без учёта психологических факторов). В предполагаемой практической ситуации он может оказаться неприменимым.

 

А ещё лжеца можно убить вопросом.

Нужно спросить: "Что ты мне сейчас ответишь, да или нет?"

http://www.xkcd.com/246/

 

Да затем, что в практической ситуации вряд ли стоит надеяться, что житель (в оригинале действие вообще происходит на острове с двумя племенами туземцев) в совершенстве владеет матлогикой и сможет правильно понять вопрос. Что разгадает в нём импликацию и вычислит ответ при помощи булевских функций, а не подумает, что спрашивающий просто выделывается перед ним. И не ответит как на более простую форму "В какой сторону город Лжецов (Правдецев)?"

 

Да или нет чему?

 

"На этот вопрос ты ответишь да или нет?"

 

Резонно. Интересно каков психологический вопрос?

 

Где вопрос?

Понимаю, конечно, однако конструкция "На вопрос "Там ли город Лжецов (Правдецов)?" как ответишь?" немного тяжёлая и плохую шутку может нам сыграть психология Муркенштейна

 

Если лжец достаточно сообразителен и ставит перед собой цель непременно ввести собеседника в заблуждение, то ни один вопрос не гарантирует успеха. Но одним из лучших в таком случае является что-то наподобие вот такого: "Известно ли вам, что сегодня в городе таком-то пиво разливают бесплатно?" После чего собеседник (неважно, что ответив) отправится в нужный город, а мы последуем за ним .

Для более простых случаев (если лжец "честный") можно спросить так: "Правда ли, что из двух утверждений "Вы лжец" и "Город такой-то в той стороне" верно одно и только одно?" Ответ "да" будет означать, что "Город такой-то именно в той стороне".

 

Я бы не сказал, что вопрос сам по себе простой, но если лжец честный, может и умный

 

Хм, ну вот я бы не последовал.
Но такое предвидеть...