Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Yes

 

Для развития правильного позиционного мышления в духе великой проги доска при том же количестве ладей должна быть 1001x1001. Периферийное поле b2 уже не годится. Все ладьи расположатся в верхней правой части доски. От b2 до верхнего правого угла королю топать 999 ходов, и пока он будет идти, ладьи за 998 ходов успеют расчистить ему 499 вертикалей и 499 горизонталей.

 

Как по мне, более интересен следующий вариант задачки. Найти минимальные размеры для прямоугольной доски, на которой N ладей смогли бы убежать от короля-самоубийцы.

 

А доказать?
Мне тут, к сожалению, неочевидно, что решение верно.

 

Мобуту написал. Хотелось бы яснее, но я не могу

 

Ну, вроде, очевидно же. Если король идёт по диагонали, то ладьи просто не успевают "сделать ноги", ведь каждой ладье нужно два хода, чтобы убежать от короля.

 

Пытаюсь врубиться.
"каждой ладье нужно два хода, чтобы убежать от короля."
Угу.
Т.е. при короле на b2, расстояние между королём и линией действия ближайшей ладьи... 998-499 = 499.

Вот король пошёл на с3... Ближайшая ладья тут же ушла на линию "а". При этом она осталась на... 502-й горизонтали... Т.е расстояние сократилось до... 997 - 499 = 498.

Чёрт. Я всё равно не оч. понимаю.

"Каждой ладье нужно два хода, чтобы убежать от короля."
Ну, допустим.
Значит ли это, что, если б ладей было 333, то король тоже смог бы встать под их удар?

 

С чего бы это? Доска 1000х1000, длина диагонали 1000.
Так как король "стартует" с b2, то ему нужно 998 ходов чтобы её пройти. А ладьям 499*2 ходов, чтобы убежать.

333 откуда взялось?

 

333 взялось вот откуда.
Я думал мы сравниваем число ходов от короля (с b2) до линии действия ближайшей ладьи
(при 499 ладьях - 498, при 333 ладьях - 665)
с числом ладей, помноженным на 2.

При 333 ладьях - оно 666.

Т.е., если принять, что "каждой ладье нужно два хода, чтобы убежать от короля", то вроде и 333 ладьи убежать не успеют.

Хм, это интересно.
Но 998=998 (т.е. 499*2).
Тут вроде какая-то неопределённость с ответом.

P.S. Сорри, если я сильно туплю. Но ничего не могу с собой поделать.

 

Ну, ещё при этом я полагаю, что ладьи не должны стоять "сгрудившись", не должно быть более одной ладьи на одной линии.
Иначе их тяжело будет "растаскивать", когда припрётся король...

 

Да, 998=998, но король первым начинает, он играет "белыми".

Возьмите, для примера, доску 3x3 c 1 ладьёй на с3, а король на а1. Королю нужно два хода, чтобы дойти до с3, и ладье два хода чтобы убежать. "Но есть разница".
Король идёт на б2, ладья убегает, скажем, с 3-й вертикали на первую. Ей осталось убежать ещё и по горизонтали на линию А. Но времени нет — король вторым ходом встаёт под удар.
И там, и там 2 хода, но выигрывает король.

 

Этот пример дефектный.
При доске 3x3 никакие "два хода" - да хоть пятьдесят ходов! - ладье не помогут при короле на b2...

 

Нормальный пример. Вам не нравилось, что 998=998, вот вам простой пример. 2=2, но король выигрывает.

 

Пример очевидно дефектный.
Вы писали:

Это - неверно.
Ладья никуда убежать не может (при короле на b2).
Хоть за два хода, хоть за три, хоть за сто.

 

Edwards, подбираются примеры понятного для вас уровня. Нам и не нужно чтобы ладья могла убежать.

Этот пример вам проиллюстрировал, что 998=998 не проблема? Нет? Ну тогда думайте дальше.

 

drowsy, что Вам неясно?
Лопухнулись?
Бывает.
Думайте дальше.

 

Мне всё ясно. Решайте задачку. =^_^=

 

Для особо одарённых ещё раз

Это элементарно неверно.

 

Верно, верно. Когда король дойдёт до с3, ладье нужно быть и не на 3-ей горизонтали, и не на вертикали "с". Чтобы с обоих уйти нужно два хода.

 

Прекрасно! Кристально ясная формулировка. Эдвардс, что Вам непонятно?
Попытаюсь и я до Вас достучаться. Смотрите, если ладья не движется, то король на своём пути дважды попадает под её удар - когда он пересекает соответствующую вертикаль и горизонталь. Значит, каждая ладья за время движения короля с b2 do h8 должна сделать 2 хода. Но подсчёты показывают, что все они это сделать не успевают.

 

Примеру Григория соответствует отдача короля одинокой ладье на доске 4x4 (2*число ладей + 2). Моему уточнению - что это возможно и на доске 5x5 (2*нечётное число ладей + 3). Но там способ уже единственный: сперва надо централизоваться, потом выбирать угол.

 

Проблема в том, что король-самоубийца "ловит" одинокую ладью и на доске 4x4, и - даже на доске 5x5!

Лишь на доске 5x5 выполняется смутившее меня равенство (2=2).
Но и там, король решает задачу, вероятно, вовсе не потому, что он "играет белыми", а просто потому, что доска маловата для того, чтоб ладья могла убежать.

И ещё раз вопрос.
Если б ладей было 333, то король тоже смог бы встать под их удар?

 

На доске 5x5 король одну ладью элементарно ловит (там минимальная доска с возможностью убежать - 5x6). А вот две ладьи на доске 7x7 уже могут успешно скрываться от короля.

 

Ну да, зато на доске 9x9 три ладьи от короля не спрячутся. Король идёт в центр и выбирает, в какой угол рвануть. С гарантией найдётся угол, по пути в который пробиваются две вертикали и две горизонтали, т.е. ладьи его расчистить к его приходу не успеют.

 

И какую же зависимость тут можно обнаружить?
(Зависимость между размером доски и числом убегающих(не убегающих) от короля ладей)

 

Верно, трём ладьям нужна уже доска 9x10 (на доске 8x10 они тоже ловятся).

Зависимость от чётности количества ладей. Для (2*N) ладей минимальная доска для их выживания - (4*N+3)x(4*N+3). Для (2*N+1) - (4*N+5)x(4*N+6). Похоже, так.

 

Пока не вижу способа для доски 8x10. Допустим, король стоит на d4. Тогда держим ладьи на a8, j1 и j8, т.е. в трёх наиболее удалённых от короля углах. Как король будет отдаваться? 1. Kс5 R8a1 2. Kb6 Rai1 3. Ka7 R8j2 - удрали вроде благополучно. Вернётся батька в центр - ну они снова по углам.

Или сперва король может как-нибудь погулять в центре, заставить ладьи побегать, сбить им координацию?

 

Вроде, неверно, не смогут две ладьи уйти при 7x7.
Встаю королем в центр, на d4. И ловлю.

 

Ставлю ладьи на a1 и g7. Лови.

 

Угу.
Я щас покатал немного. Ясности нет у меня. Там цугцванги могут быть какие-то.
Вот при ходе ладей ты готов эту позицию играть?

Хорошо б найти мат. доказательство ловли-неловли ладей в этом случае. Вроде задачка-то несложная.

 

Готов. Играю 1...Ra2.

 

Ага, вроде не выходит прижать ладьи, сдаюсь.

 

В стране Анчурии проходит математический конгресс, в котором принимают участие 100 математиков. За несколько дней до окончания конгресса в оной стране происходит переворот и военная хунта захватывает власть. Глава хунты, полковник Фидель Аугусто Чавес, приказывает всех математиков арестовать (а то чо они на непонятных языках говорят, и непонятные значки на досках пишут?..). Но полковник, в сущности, добрейшей души человек. Вот он приходит в тюрьму к математикам, и говорит такую речь:
"Мы тут, разумеется, решили вас всех расстрелять. Но я хочу дать вам шанс. В соседней комнате лежит 100 карточек. На одной стороне у них числа от 1 до 100, а на обратной - ваши имена. Вы будете по одному заходить в комнату, где карточки будут лежать числами вверх. Каждый может перевернуть 95 карточек. Если каждый из вас, переворачивая карточки, найдет свое собственное имя - тогда всех прикажу отпустить. А вот если хоть один не найдет - тогда уж всех расстреляют, вот беда какая..."

Оцените шансы того, что для математиков все кончится хорошо.

Поясню условие задачи: на каждой карточке только одно имя и только одно число, числа и имена не повторяются. Каждый проходит через комнату с карточками один и только один раз. Перед началом процесса математики могут между собой договориться о чем угодно, но тот, кто уже прошел через комнату, не может передать никакой информации остальным (и, перед тем как зайдет следующий, карточки переворачивают обратно числами вверх). Естественно, карточки непрозрачны, и на них ничего рисовать нельзя. Менять их расположение тоже смысла нет - все равно к приходу следующего все перемешают.

 

А расстреливают сразу при неудаче, или факт вызова следующего значит, что предыдущий угадал?

 

не уверен, что это имеет значение, но допустим, что расстреливают сразу