Парадоксы теории вероятностей

Старая задача (из Гарднера), но может представлять интерес для тех кто случайно не сталкивался
"Предположим, что вы встретились со своим другом Джоном и что каждый из вас носит тот галстук, который ваша жена подарила ему на Рождество. Вы начинаете спорить о том, чей галстук дороже, и в конце концов решаете пойти в магазин, где были куплены галстуки, и узнать, сколько стоит каждый из них. Тот, кто выиграет (чей галстук окажется дороже), по условию пари должен отдать свой галстук проигравшему, чтобы смягчить горечь поражения.
Вы рассуждаете так: «Шансы выиграть и проиграть у меня одинаковые. Выиграв, я обеднею на сумму, равную стоимости моего галстука. Проиграв, я получу более дорогой галстук. Следовательно, заключив пари, я окажусь в более выгодном положении, чем мой приятель».
Разумеется, ничто не мешает Джону рассуждать точно так же. Могут ли обе стороны, заключившие пари, иметь преимущество друг перед другом?"

 

Нет, не могут. Они - на равных.

Некорректность рассуждения где-то здесь:
"1. Выиграв, я обеднею на сумму, равную стоимости моего галстука.
2. Проиграв, я получу более дорогой галстук."

В первом утверждении говорится об абсолютной стоимости галстука
Во втором - об относительной (сравнительной со стоимостью галстука Джона).
Для того же, чтобы вывод был корректным, необходимо вводить относительную стоимость и в первую посылку. Т.е., корректно так:
"1. Выиграв, я потеряю более дорогой, чем у Джона галстук.
2. Проиграв, я получу более дорогой галстук, чем свой."

Некорректность рассуждения из задачи можно ещё проиллюстрировать тем, что оно легко "зеркалится":
"1. Проиграв, я получу галстук Джона.
2. Выиграв, я потеряю более дорогой, чем у Джона галстук.
3. Следовательно, заключив пари, я окажусь в менее выгодном положении, чем мой приятель"

 

Edwards, разумеется, что где-то есть обман
Но - есть ли разница между абсолютной и относительной стоимости в данном случае?
Давайте представим - что это не галстуки а просто деньги в бумажнике (у кого больше).
У Вас в кармане 50 рублей. Вы можете их проиграть, но выиграть например 100.
Выгодно ли для Вас такое пари?
Проиграв 10 раз по 50 но выиграв 10 по 100 Вы будете в плюсе .
А все соображения о зеркальности наводят на мысль, что да, выгодно

 

Ожидаемый выигрыш каждого равен 0, и противоречия тут никакого нет. Действительно, пусть X - случайная величина, которая есть стоимость случайно выбранного галстука из совокупности всех галстуков, продаваемых в магазинах данного населенного пункта Пусть X_1 и X_2 - стоимости галстуков автора и его друга Джона соответственно. Тогда действительно P[X_1 > X_2] приблизительно равно 1/2 (приблизительно, потому что нельзя исключить возможность того, что галстуки стоили абсолютно одинаково, если их, к примеру, купили в одном и том же месте и в одно и то же время). Однако, дело в том, что если бы было известно, что галстук автора дороже, то условное распределение стоимости его галстука не равно безусловному (т.е., бóльшие значения стоимости галстука автора более вероятны). А это значит, что ожидаемый проигрыш автора при условии что его галстук дороже, строго больше ожидаемой стоимости галстука без всяких условий.

Вот, как это получается формально. Предположим, к примеру, что стоимость галстука имеет плотность f(x) на интервале [0,D] (это чтоб не загромождать решение рассмотрением возможности, когда галстуки стоят одинаково). Пусть Z - прибыль автора (т.е., Z равно стоимости галстука Джона, если X_1 < X_2, и Z равно минус стоимости галстука автора если X_1 > X_2). Тогда
Е(Z | X_1 < X_2) = 2\int_0^D (\int_x^D y f(y) dy ) f(x) dx,
Е(Z | X_1 > X_2) = - 2\int_0^D (\int_0^x f(y) dy ) x f(x) dx,
ну и легко убедиться (нарисовав картинку и использовав симметрию) что Е(Z | X_1 < X_2) = - Е(Z | X_1 > X_2), что и требовалось доказать.

 

Можно еще попробовать обьяснить так:

пусть М - это средняя стоимость галстука. В парадоксе автор рассуждает так: при условии, что мой галстук дешевле, я выиграю, в среднем, больше чем М (и это верно!). А при условии, что мой галстук дороже, я проиграю в среднем М (а вот это, как мы только что видели, неверно!)

 

Рассуждение приводимое Гарднером точный аналог известного блондинистого рассуждения о том, что вероятность встретить динозавра во время вечерней прогулки равна 1/2. B то время как корректное рассуждение продемонстрировал Серж.

 

Serge_P абсолютно прав.

 

Вот еще один известный парадоксик ( почти 3 наперстка )

Телешоу.
Есть три двери.
За одной из дверей находится авто, за двумя другими дверями - пусто.
Вы выбираете одну из дверей. (например, номер 1 )
После этого ведущий, который знает, где находится авто, открывает одну из оставшихся дверей, (например, номер 3), за которой ессно ничего нет.

После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение и измените свой выбор ?

 

Было здесь:
http://kasparovchess.crestbook.com/viewtopic.php?id=1139&p=12
Я, кстати, у соседа на этой задачке 100 рублей выиграл.
После того, как я ему уже сказал правильный ответ(!), он запротестовал и сказал, что я ему всё равно ничего не докажу. При этом спор был весьма интересен:
-если я ему докажу, что он не прав, он мне 100р;
- если я ему не докажу(!), что он не прав(!), то я ему 100р...

Вообще, задача интересна тем, что даже после того, как тебе сообщат верный ответ, ты всё равно будешь пытаться доказать его неверность. Другой такой задачки не знаю.

 

Сначала вступление:

(1) Играем в такую игру: ведущий выдаёт два конверта и сообщает, что в одном из них денег ровно в два раза больше, чем в другом. Игрок выбирает конверт, смотрит, сколько денег ему перепало, и теперь ему предлагается либо оставить эти деньги себе, либо забрать другой конверт. Задачка, в принципе, аналогичная той, которую тут уже разобрали.

Теперь модификация:

(2) Выбираем степень двойки 2^k с вероятностью 1/2^k. Кладём в один конверт 2^k рублей, а в другой кладём 2^{k+1} рублей. Как и раньше - в одном конверте в два раза больше денег, чем в другом. Ну и процедура повторяется: игрок выбирает конверт, глядит на полученные деньги (скажем, x рублей), а затем решает - менять или не менять. Вот и вопрос: менять или не менять?

 

Мы на пару с Сашей такую (или примерно такую) задачу полностью имхо разобрали в старой гостевой

 

Sorry, пропустил это у Морковкина

 

Кажется это не совсем то.
Это уже матричная игра, если предположить, что ведущий знает, какой конверт он дает. Т.е вопрос с какой вероятностью ведущий дает тот или иной конверт - с заведомо одинаковой, или следуя возможно оптимальной стратегии.
Матрица ниже
Ведущий
Большой конв. Маленький Конв.
————————————————————-
Игрок | M M/2
оставил |
|
поменял| M/2 2*M

 

Vladimirovich, нет, ведущий ничего не даёт, окромя двух конвертов. И игрок знает лишь то, что в одном из них денег в два раза больше, чем в другом. Ну и, конечно, нужно обозначить, что M может быть абсолютно любым с одинаковой вероятностью.

То есть игрок выбирает конверт, смотрит, что там M рублей и думает: "если я поменяю, то получу либо M/2, либо 2M... чё ж делать-то?" M/2 и 2M могут случиться с одинаковой вероятностью, но в первом случае мы "теряем всего лишь" M/2, зато во втором случае "приобретаем аж" M. Выигрыш больше проигрыша. Вроде как надо менять. На самом-то деле, конечно, без разницы - хоть меняй, хоть не меняй, нужно только аккуратно считать.

Гораздо интереснее вторая задачка.

 

Прошу прощения, не знал.

Но думаю, для темы "Парадоксы теории вероятностей" она всё равно будет не лишней.

 

http://www.guestbook.ru/?user=KasparovChess&page=14&language=russian
Вот пара моих постов оттуда:
"30713. Имя: Grigoriy
Комментарии: А я добил парадокс! Окончательно. Рассмотрим конечное число конвертов. Но нам неизвестное - что и является первоначальной постановкой задачи. Тогда если мы меняемся, то мат ожидание, как легко видеть, равно нулю. В самом деле, для нижнего - выигрываем 1-ый интервал. Для следующего - 2-ой - 1-ый, т е в сумме 2-ой. И т д, до предпоследнего включительно, после которого в сумме получаем последний интервал. Каковой и проигываем, если нам попадётся последний. Всё, Нет парадокса - меняй не меняй - ничего в среднем не выиграешь. Что не отменяет, на мой взгляд, практической разумности установки планки.
09:38, 27.01.2006"

"30680. Имя: Grigoriy
Комментарии: Морковкину. Я кажется разобрался с парадоксом. Он оказался действительно глубок, но менее и по другому, чем я думал.
Итак, начнём с начала.
В условии говорится о единичном эксперименте, но для принятия разумного решения мы должны представить его как один в ряду многих одинаковых. Тут возможны варианты.
Можно рассматривать вариант, где каждый раз предлагается одна и та же пара конвертов(новым людям, чтобы они не знали, какие именно суммы). Можно, но из текста никак не следует такая интерпретация. Более логична другая - есть бесконечно много конвертов , в которых положены рубль, 10р, 100р, 1000р,...., и каждый раз выбирается соседняя пара.
Чтобы разобраться с ситуацией, рассмотрим случай, когда число конвертов конечное - n+1 штук - от 1 до 10**n. Тогда никакого парадокса нет. Если открывается единица - надо меняться с гарантированнум плюсом. Если максимум - нет. В остальных случаях надо меняться с матожиданием больше 0.
В реальности конечно максимальная сумма ограничена, только вот мы не знаем как. Поетому и для реально задачи, и для идеализированного случая разумное поведение такое: Мы устанавливаем сумму, получая которую мы останавливаемся, не меняемся. Возможно - разные с разной вероятностью."

 

Мы должны посчитать оптимальную стратегию матрицы для человека, получившего М.

Если ведущий выбирает конверт абсолютно случайно, то мы имеем 1/2 для обоих вариантов.
Я мог с формулами напутать на ходу ( все таки ЧМ идет ) но получается вот что:
Тогда если a- вероятность (стратегия) выбора оставления конверта при себе, и выбор ведущего строго 1/2, то
цена игры
a*M*1/2+a*M/2*1/2+(1-a)*M/2*1/2+(1-a)*2M*1/2
=aM/2+M/4+M-aM=1.25M-aM/2

Т.е максимизировать выигрыш нужно делая a=0, т.е всегда меняя конверт
Ожидаемый МО - 25% от среднего содержимого первого конверта.

Если ведущий придерживается другой стратегии ( т.е сам определяет с какой вероятностью какой конверт класть), то оптимальные стратегии надо еще посчитать ( сегодня лень ) и вывод м.б. другой.

Это не задача о галстуках, поскольку цена игры фиксирована после получения информации о М.

Вторая задача должна решаться аналогично.

P.S оопс был неправ - прошу признать свою ошибку

P.P.S - оопс- нет, не совсем неправ - все зависит от деятельности ведущего.
Если он дает (условно) все время конверты с рублем, а во втором случайно лежит полтинник или два, то работает моя схема - 25% прибыли
Если же он дает рубль или два попеременно, это другая история - тогда прав gennah, разницы нет.
Стратегия зависит от.

 

Однако, это невозможно

 

Оптимальная стратегия выбрать с вероятностью 1/2 один из двух конвертов. На предложение поменять любая стратегия будет оптимальной...
Если предложение поменять следует всегда - то оптимальной стратегией будет любое сочетание стратегий (перед предложением и после) при котором вероятность взять каждый из конвертов равна 1/2.

 

Приз или деньги? т е конечно Якубович может остановиться на 10 тыс руб если я скажу приз, но может ведь и 15 предложить тогда то можно и 15 взять. далее: т.е. конечно Якубович может остановиться на 15 и сказать: "ну приз так приз", но ведь может и 20 предложить и тогда то я и подумаю... Что-то я не могу мат ожидание посчитать >_<

 

Угу, глупость сказал. Пусть будет равномерное распределение на каком-то отрезке. Или так: никакой информации о распределении M у игрока нет.

 

По поводу второй задачки: если в конверте 2, то, очевидно, надо менять (поскольку в другом конверте тогда 4). Есле же мы видим в конверте 2^k, где k>1, то простой подсчет по формуле Байеса показывает, что во втором конверте больше денег с вероятностью 1/3, ну и значит средний дополнительный выигрыш от смены конвертов равен 0.

Обдумав эту ситуацию, мы можем сначала придти к выводу, что менять конверт выгодно даже не заглядывая туда совсем (т.е., средний выигрыш при стратегии "взял конверт, и, не заглядывая туда, поменял" строго больше, чем если просто взять конверт), что было бы весьма странно. Однако, потом мы соображаем, что средний выигрыш все равно равен бесконечности, и вздыхаем с облегчением

 

Теперь насчет первой задачки. Здесь есть весьма существенное отличие от задачки с галстуками: мы знаем, что лежит у нас в конверте, тогда как в парадоксе про галстуки герой не знает, сколько стоит его галстук. Попробуем формализовать задачку так: пусть изначально ведущий кладет в один из конвертов случайное количество денег Х, а в другой, соответственно, 2Х. Предположим также, что эта случайная величина имеет плотность f(x). Тогда, при условии что в нашем конверте x денег, во втором конверте денег в 2 раза больше с вероятностью 2f(x) / (2f(x)+f(x/2)) (соответственно, в 2 раза меньше с вероятностью f(x/2) / (2f(x)+f(x/2)) ). Значит, если игрок знает распределение случайной величины Х, то, открыв свой конверт, он может легко посчитать, выгодно ему менять конверты, или нет.

В общем, получаем, что если игрок имеет хотя бы частичную информацию о распределении Х, то он, похоже, получает некоторое преимущество (т.е., его средний выигрыш при возможности менять конверты строго больше среднего выигрыша, если бы конверты было менять нельзя). Грубо говоря, стратегия игрока такая: если в конверте "много" денег, то не меняю, а если "мало", то меняю.

Если бы мне предстояло играть в эту игру, то я бы посмотрел, сколько денег они клали в конверты в предыдущие разы, и получил бы таким образом информацию о распределении Х. Ну а если игрок не имеет ну совсем никакой информации о распределении Х, и даже не может ничего правдоподобного предположить (типа, хотя бы, "меньше 10 рублей вряд ли положат, но и больше миллиона тоже вряд ли"), ну тогда, конечно, пусть берет конверт, и гуляет домой счастливый Но, в любом случае, нельзя говорить, что условная вероятность того, что во втором конверте больше денег чем в нашем, равна 1/2. Как было показано выше, например для равномерного распределения она равна либо 0, либо 2/3.

 

В общем, люди, имея дело с условными вероятностями, будьте бдительны! Они не всегда равны безусловным...

 

Я уже выше пришел к выводк, что стратегия зависит от действий ведущего.
Т.о задача неопределена.

 

Как ваша стратегия может зависеть от действий ведущего, если у вас нет никакой информации о действиях ведущего?

А вообще Serge_P всё здорово расписал. Вторая задачка тем и знаменита, что приводит к забавному выводу: "взял конверт, и, не заглядывая туда, поменял".

 

Да, я неправильно выразился. Я имел ввиду, что не имея никакой информации о f(x) задача не вполне определена.

Возьмем для примера один очень частный случай
У ведущего всего три конверта - 0.5, 1 и 2
1) Ведущий всегда кладет конверт с 1 и случайно с вероятностью 1/2 убирает 0.5 или 2 в карман
Тогда надо всегда менять.
2) Ведущий всегда убирает в карман 0.5 и случайно с вероятностью 1/2 кладет 1 или 2.
Тогда без разницы.

 

Vladimirovich, я так понял задачу, что ведущий дает игроку два конверта, а уж дальше игрок сам выбирает один из них равновероятно (а вовсе не так, что ведущий вручает игроку один конверт, зная что там внутри, и оставляет второй на столе). Что Вы понимаете под "действиями" ведущего? По-моему, он только кладет деньги в конверты, а дальше уже ситуацию не контролирует.

Кстати, по-видимому, игроку имеет смысл использовать следующую стратегию, даже если он совсем абсолютно ничего не знает о f(x): фиксируем А (которое равно, по представлениям игрока, максимально возможной сумме в меньшем конверте), если в конверте меньше А, то меняем, если больше, то берем. По моим прикидкам, по крайней мере для равномерного распределения на любом интервале, получается что эта стратегия либо эквивалентна стратегии "всегда берем первый конверт", либо строго лучше.

 

Vladimirovich, ваша стратегия определяется имеющейся у вас информацией. Информация у вас имеется такая: в одном конверте лежит в два раза больше денег, чем в другом. И всё! И вопрос: имеет ли смысл менять конверт? По-моему, всё вполне нормально определено... И идея тут такая: сумма M в вашем конверте не даёт вам абсолютно никакой новой информации.

Ну и да, не ведущий даёт вам конверт, а вы сами - случайным образом - выбираете себе первый конверт. А потом думаете: менять или не менять. Это касается и первой, и второй задачи. Тем забавнее задача вторая.

 

Убедили.
Мне почему-то казалось, что у ведущего больше свободы, и это больше матричная игра.
В принципе и у меня получилось, что поменять хуже не будет

 

Вот здесь я все-таки не совсем согласен. Дело в том, что возможность посмотреть в свой конверт перед решением насчет менять или не менять, позволяет игроку использовать стратегию "если меньше А, то меняю, если больше А, то беру". Может так случиться, что эта стратегия лучше, чем стратегия "всегда беру тот конверт, который мне достался изначально" (обозначим это как "0-стратегия"). Пусть также "1-стратегия" - это "всегда меняю конверт"; ясно, что 0-стратегия и 1-стратегия эквивалентны.

Давайте рассмотрим, например, такую модель. Пусть перед началом игры ведущий выбирает Х из равномерного распределения на отрезке [a,b], и кладет в один конверт Х, а в другой 2Х. Игрок, не имея абсолютно никакой информации об a и b, перед тем как открыть конверт выбирает А, и далее использует стратегию "если меньше А, то меняю, если больше А, то беру". Тогда, если А<a, то фактически получается 0-стратегия, если А>2b, то 1-стратегия, т.е. ничего не меняется. Однако, если так получилось что А попало между a и 2b, то получается что средний выигрыш игрока при такой стратегии строго больше, чем средний выигрыш при 0-стратегии.

Здесь, разумеется, надо еще посмотреть что может быть если ведущий использует другие распределения (мне лень, если честно ), но, по-моему, уже ясно что полезно знать, что у нас в конверте, для того чтобы быть в состоянии использовать вышеописанную стратегию.

 

Кстати, только что сообразил, почему стратегия "если меньше А, то меняю, если больше А, то беру" при любом распределении случайной величины Х (то, что ведущий кладет в меньший конверт) либо строго лучше, либо не хуже 0-стратегии. Дело в том, что любую случайную величину можно сколь угодно точно приблизить дискретными величинами, а для них это сразу получается. Так что, заглянуть в конверт таки полезно!

 

Строго говоря, пусть m - среднее количество денег в меньшем конверте, тогда при 0-стратегии или 1-стратегии игрок выигрывает в среднем 3m/2. Далее, пусть А - тоже случайная величина (т.е., игрок выбирает свою стратегию случайным образом перед началом игры), с каким-нибудь непрерывным распределением на положительной полупрямой. Тогда, используя общую формулу полного мат.ожидания ( Е(Z) = E(E(Z|A,X)) ), можно получить, что средний выигрыш игрока при использовании стратегии "если меньше А, то меняю, если больше А, то беру" равен
3m/2 + 0.5*Е(Х|Х<А<2Х)*P[Х<А<2Х], т.е., применять эту стратегию выгоднее.

 

А вот еще один парадокс теории вероятности:

Вы приходите в некое казино и вам предлагают сыграть в такую игру - крупье подбрасывает монетку: если выпал "орел" - вы выигрываете доллар, второй раз выпал "орел" - выигрываете два доллара, третий "орел" - четыре доллара, четвертый "орел" подряд - восемь и т.д. в геометрической прогрессии.
Но как только выпадает "решка" - вы ничего не получаете, т.е. ваш выигрыш становится равным нулю
Вопрос: какую максимальную сумму вы готовы заплатить за возможность сыграть в такую игру?

 

Serge_P, похоже вы правы и "угадать" A перед началом игры может оказаться полезным. Мне, честно говоря, такое в голову не приходило.