Парадоксы теории вероятностей

Скорее всего, Sherman как раз и подразумевал диаметр.

Это слишком грубое определение. Например, совершенно непонятна функция распределения данной случайной величины.

Опишу, как я всё понял. Дальнейшие рассуждения основываются на предположении, что наличие подобного рода факта желательно для любых случайных величин? Но ведь такое предположение ниоткуда не следует. Была приведена лишь пара примеров, когда оно имеет место. Почему же должны отбрасываться другие случаи?

 

могу предположить, что Sherman имел в виду расстояние от центра хорды до центра окружности

 

не для любых случайных величин, а для случайных величин, имеющих равномерное распределение. Ведь обычно, когда говорят "выбираем элемент из множества случайным образом", подразумевается именно равномерное распределение.

 

Ну это уже некий сговор , который всегда увеличивает шансы.
Я все-таки предполагал, что игра антагонистичная, и авто никогда не открывается.

 

может быть, просто шпионаж со стороны игрока

 

Знал бы прикуп, жил бы в Сочи

 

+1

 

функция разпределения - имеется ввиду стандартная линейная функция

 

Я впервым узнал, что имеется в виду, конечно, что треугольник равносторонний. Тогда r1=r2=r3=R/2. Эсли так, то тогда, решение интуитивно ясно - 1/2= (R/2)/R. Не будет и особый проблем это написать строго. Скорее русский для меня будет более сериозное препятсвие!

 

А если такой вариант -
а. Случайным образом выбираем точку внутри круга ( равномерное распределение)
б. Случайным образом выбираем луч из точки - равномерное распределение по углу 0<a<2pi
в. Луч определяет секущую прямую.

( Какая будет вероятность для длины хорды пока не знаю - интегральчик надо посчитать )

Теперь добавляем меньший круг с тем же центром.
при условии что случайно выбранная точка из а. попадает в меньший круг, распределение длин хорд будет тем же (вроде бы) , что и для большего круга но без условия

 

да, это тоже априори вполне естественный способ выбрать случайную хорду. Даже непонятно, почему в классической версии парадокса Бертрана он не упоминается. Хотя, я кажется понимаю: там вероятность получается какая-то не очень красивая, что-то типа 1/3 + \sqrt{3}/(2\pi) (а для трех "классических" способов - 1/3, 1/2, и 1/4)

 

все-таки, здесь надо учесть следующее: даже если случайная точка не попала в меньший круг, все равно возможно, что хорда его пересечет. Т.е., событие {случайно выбранная точка попадает в меньший круг} не равно событию {случайная хорда из большей окружности пересекает меньшую}.

 

( На приоритет не претендую, но сегодня этот вариант "случайности" меня случайно посетил)

Мне кажется, что событие 2 (факт пересечения) все-таки вторично.
Я старался опираться лишь на принцип "выбора" случайности

Т.е распределение при наложении первичного условия (попадание точки в меньший круг) для подмножества (меньший круг) похоже не меняется.
Конечно, не исключено, что Ваше обоснование более естественно.

 

я думаю, что все-таки более логично говорить о подмножестве хорд (ясно, что любая хорда меньшей окружности соответствует одной и только одной хорде большей окружности), а не о подмножестве точек. Обратите также внимание, что при Вашем методе выбора случайной хорды, одной хорде соответствует много разных начальных точек.

В любом случае, при том методе, который я описал, получается математический объект (случайная хорда для любой области) обладающий интересными свойствами. А для нас, математиков, это самое главное, чтоб интересно было

 

Согласен.

Да, и это и есть тот момент, что заставляет меня подозрительно относиться к "случайному" выбору на непрерывных множествах

 

А что здесь за парадокс я не понимаю. Для определение произвольной хордой нужны две координати. Какие они - не имеет значения, важно только то чтоб они определяли хорду однозначно. В моем предложение - первая координата это отстояние хорды от центра./Что значит разстояние от точки до прямой - я предположил, что все мы знаем - длина перпендикуляра с точки к прямой./, а именно разстояние от центр до середине хорды в нашем случае. Какая вторая координата? Это угол , который отрез с краищам центр и середина хорды имеет с произвольной, но фиксированой посокой. Этот угол Ф принимает значения в интервале [0,2п), а первая координата r, принимает значения в интервале [0,R). Так каждая двойка (Ф0, R0) ОПРЕДЕЛЯЕТ ОДНОЗНАЧНО ХОРДУ. Т.е. Каждая точка в прямоугольнике (Ф,r) 0<=Ф<2п, 0<=r<R определяет однозначно одну хорду на нашей окружности. Теперь те хорды, которые длинее стороной равносторонного треугольника, вписанного в окружносте, ближе к центре, чем сторона треугольника., т.е. для них r<R/2./Сторона треугольника находится на разстояние R/2 от центра/. Теперь наша задача сводится до случайная стрельба в прямоуголнике. И решение задача есть отношение лица прямоугольников А={(х,у), где 0<=x<2п, 0<=у<R/2} и B={(х,у), где 0<=x<2п, 0<=у<R/}. Очевидно S(A)/S(B)=((R/2)*2п)/(R*2п)=1/2

 

Парадокс в том, что кроме Вашего варианта определения двух координат, задающих хорду, есть другие варианты, дающие ответ отличный от 1/2

 

Определяет конечно, только не взаимно однозначно. С токого способа я могу построить одну и тоже хорду, выбирая другая точка и конечно тот самый угол.

 

Ну мой вариант и не претендует на взаимную однозначность Это лишь иллюстрация.
Но вот вариант 1) из классической формулировки - выбор двух точек на окружности - вполне.
Там не 1/2 тоже.

 

Интересно получилооооось... Я подобным способом попытался определить геометрическая вероятность в случае 1. Вы прав, что результат другой получился. Теперь я знаю во что состоит парадокс. Гм, а может быть что-то неправильно я посчитал. Черт, возьми! Здесь что-то не так, как я моделировал. А знаете что мне в голова пришло? Может быть картинка/геометрическая, которая получается/ погрешная, так как мне кажется стойность второй координаты как-то зависят от стойности первой? А это во втором случае они независимы.Не в то ли состоит "парадокс"? Мне кажется в первом случае для второй координаты разпределение уже не "равномерно"?

 

Sherman, а ведь есть ещё и задача о сломанной палке (тоже наглядный пример парадокса):
Палку случайным образом ломают на 3 части. С какой вероятностью из обломков можно составить треугольник?

 

А Вы это предложите мне заниматся, как другом примером вышеуказанного парадокса?

 

Это может быть не совсем парадокс, но называется парадокс раздела ставки.
Думаю, особенно должно быть интересно Е-ноту. Его всегда интересовали вопросы типа как делить призы

Двое играют в игру с равными шансами на выигрыш. (Орел - решка для простоты )
Кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз.
Предположим, то на самом деле игра остановилась, до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, второй - 3). ( Карпов- Каспаров )
Как справедливо следует разделить приз?

Интересно что говорит е-рейтинг?

 

Первый - 7/8, а второй - 1/8 из приза.

 

Да - это самое логичное.
Но что скажет Е-нот?

 

Интереснее(раз уж речь зашла о 1-м матче КК) другая постановка задачи.
При какой вероятности выигрыша 2-м( в результативных партиях, конечно, что и подразумевалось Владимировичем с самого начала) справедливо равное распределение приза, т е равны вероятности выигрыша каждым из противников. Не думаю, что это трудная задача, но мне лень считать.

 

Думаю, что P^3 =1/2, т.е P= ~0.79

 

Да, интересно - распределение приза с учетом сыгранного ...
Однако здесь не рассмотрена "вторая сторона медали" - формирование приза... И соответственно не учтен интерес спонсора.
По логике вещей на этот случай должно быть предусмотрена пропорциональность приза числу сыгранных партий. Ведь именно партии являются той работой за которую спонсор платит деньги, и зарабатывает сам на рекламе ...

В нашем варианте призовой фонд составляет 11 долей чего - то

Если мы устраиваем турнир по принципу "все - или ничего" тогда приз должен по этой модели делится как

7 к 1 а не

7 * 11/8 к 1*11/8

Однако е-рейтинг - это распределение призов "по сделанной работе" и тогда распределение 5 к 3 (Но не 5*11/8 к 3*11/8 поскольку они отработали вместе только на 8 долей фонда а не на 11)

 

Мысль понял, но само выраженние "5*11/8 к 3*11/8" нет. Ну да ладно.
А почему мы должны принимать 11 как количество долей?
Разве мы обязаны рассчитывать на 6:5?
И почему с другой стороны "сделанная работа" не зависит от того, что осталось? Первому же осталось вообще 1 партию выиграть.

 

Понятно, "как договорились", это принципиально важно.

Я исхожу из того, что "правильно" когда работодатель (спонсор) оплачивает сделанную работу, что "справедливо" с точки зрения "статистики" и дальнейшего прогноза результатов. Призовой фонд - это плата всем. 6 долей - это максимум что может выиграть победитель если по условиям матча он продолжается до 6 партий...
Однако нормально если спонсор ставит условие что матч продолжается до конца т.е. 11 партий
тогда и счет 10-1 вполне нормален. Вы скажете с точки зрения публики нет смысла продолжать следить за матчем при счете 6-0 и таким образом эффективность рекламы все равно падает и тд и тп. Согласен. Значит спонсору имеет смысл сохранить "нормировку" на число сыгранных партий и максимальный приз 6 долей ...

Мы всегда "по идее" должны иметь ввиду две функции любого турнира - отбор (сито) ранжировка участников и распределение призового фонда.

Вообще, изначально, для матча е-рейтинг подразумевает пропорциональность приза числу побед. Это в общем то как бы "убивает" целостность самого матча. Однако функция отбора (определение победителя независимо от призовых) все равно сохраняет целостность матча.

Таким образом - призовые - стимулируют борьбу в каждой партии, а отбор сохраняет целостность матча...

ИМХО можно в принципе функциями "отбора" наделить и счет матча. Но это уже проекция на будущие права.
Например если матч за корону то равный счет в матче дает претенденту право на матч "реванш" при сохранении титула за чемпионом. При победе претендента в одно очко право на матч реванш сохраняет чемпион.
Возможно было бы в этом случае вести общий счет матча. Т.е. матч реванш как продолжение ...

При преимуществе в два очка чемпион уже теряет право на матч реванш ну и тд и тп.

В этом случае стимул для борьбы сохраняется при любом счете ... Именно в этом заинтересован "работодатель"

 

Указанный выше ответ - 7:1 как раз и базируется на теории вероятностей и прогнозе результатов.
Но "Вообще, изначально, для матча е-рейтинг подразумевает пропорциональность приза числу побед."
Т.е разница в принципиальном подходе.

 

Ученые амстердамского университета 350 757 раз подбросили монету - орел выпал в 50.8% случаев. Оказывается, что чаще выпадет та сторона которая изначально расположена вверх. Монету подбрасывали год.
https://arxiv.org/abs/2310.04153