Завести что ль Моркофкина ... :-)

Discussion in 'Университет' started by Grigoriy, 17 May 2006.

Page 1 of 2
  1. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Member Since:
    11.02.2006
    Message Count:
    4.122
    Likes Received:
    89
    Репутация:
    5
    Оффлайн
    Вот есть такая задачка. В круге даны 2 точки А и В. Найти на окружности все точки С такие, что луч, посланный из А в C отразится в В.
    В своё время я потратил немало времени на эту задачу, придумал очень красивое рассуждение, квазирешающее её, но чисто так и не решил. Один интернетный знакомый(кстати, один из разработчиков Каиссы), тоже промучившись несколько дней, грозился подкинуть её Бернштейнам(Иосифу и Давиду), но так и не собрался. Так что только на Вас, Морковкин, надежда :)
    Grigoriy, 17 May 2006
    #1

  2. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Красиво. Ждем Моркофкина, но просим не спешить с публикацией или пользоваться скрытием решения. Хочется хоть немного порисовать будет сегодня на сон грядущий :)

    Эх, Григорий, хорошую тему возродил! Боюсь только, что всеведущий в этой области Моркоффкин уже знает эту задачку :)
    atoku, 17 May 2006
    #2

  3. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Member Since:
    10.04.2006
    Message Count:
    3.709
    Likes Received:
    50
    Репутация:
    1
    Location:
    Кишинев
    Оффлайн
    это... а решать циркулем и линейкой, да?
    krey, 17 May 2006
    #3

  4. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Member Since:
    10.04.2006
    Message Count:
    3.709
    Likes Received:
    50
    Репутация:
    1
    Location:
    Кишинев
    Оффлайн
    решение
    krey, 17 May 2006
    #4

  5. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Разрешено одно отражение или луч имеет право отражаться сколько угодно раз?
    morkoffkin, 17 May 2006
    #5

  6. Crest Админ, МГ

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    57.267
    Likes Received:
    21.177
    Репутация:
    632
    Location:
    Москва, Россия
    Оффлайн
    Krey, я думаю, здесь не нужно скрывать решение от других читателей.
    К тому же вы так его скрываете, что я при всем желании его прочесть не могу. А интересно!
    Crest, 17 May 2006
    #6

  7. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Да оно по-любому неверное.
    morkoffkin, 17 May 2006
    #7

  8. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Member Since:
    10.04.2006
    Message Count:
    3.709
    Likes Received:
    50
    Репутация:
    1
    Location:
    Кишинев
    Оффлайн
    неправда. могу доказать.
    с той поправкой, что луч отражается только один раз. если не один, то решение немного усложняется.
    krey, 17 May 2006
    #8

  9. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Возьмите точку А на окружности и попробуйте ваш метод. Мне кажется, что он не будет работать.
    morkoffkin, 17 May 2006
    #9
  10. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Member Since:
    11.02.2006
    Message Count:
    4.122
    Likes Received:
    89
    Репутация:
    5
    Оффлайн
    1 raz
    Grigoriy, 17 May 2006
    #10

  11. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Есть серьезные основания полагать, что это построение не может быть проведено при помощи циркуля и линейки. Что известно еще про эту задачу. Откуда она пришла?
    morkoffkin, 18 May 2006
    #11
  12. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Member Since:
    11.02.2006
    Message Count:
    4.122
    Likes Received:
    89
    Репутация:
    5
    Оффлайн
    Один товарищ сказал, что какому-то знакомому дали где-то на приёмных эзаменах(чтобы завалить как еврея) и спросил моё мнение. Я влип. Потратил несколько дней, честно написал уравнения(внушительно выглядящие), но так и не решил. Дело было лет 20 назад.
    Крей, сколько решений даёт Ваш метод?
    Grigoriy, 18 May 2006
    #12

  13. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Взглянул на задачку - очень классно и просто на вид, но фиг решишь! Мне кажется, не надо писать уравнения. Методом приближений решается легко, но неточно :)

    Я переформулировал для себя задачу так. Для двух точек в круге, надо найти точки на окружности, такие что дуги хорд, образуемых этой точкой и данными точками в круге, равны
    atoku, 18 May 2006
    #13

  14. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Да. Решить, конечно, не смог :) Пошел ка я работать :)
    atoku, 18 May 2006
    #14

  15. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    А ведь дуги равны, когда хорды равны!!! О!
    atoku, 18 May 2006
    #15

  16. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Там явно невозможно ограничиться кривыми второго порядка. Как только появляются более сложные объекты, простые геометрические построения невозможны. Вероятно, задача может быть решена в лоб выписыванием тригонометрических уравнений, (уравнения будут более высоких степеней, чем 2) но при этом она теряет свою притягательность. Могу предположить, что Ваше квазирешение использует инверсию, но на этом пути можно получить только нечто напоминающее решение, но не решение. Я еще посмотрю про эту задачу в Интернете.
    morkoffkin, 18 May 2006
    #16

  17. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Кажется решил!!!!
    atoku, 18 May 2006
    #17

  18. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Я поторопился, а мне не дает шеф сосредоточиться, какой-то фигней надо заниматься. Блин! Блин! Блин!
    atoku, 18 May 2006
    #18
  19. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Member Since:
    11.02.2006
    Message Count:
    4.122
    Likes Received:
    89
    Репутация:
    5
    Оффлайн
    Вот моё "решение": Пусть С - искомая точка. Тогда эллипс с фокусами А и В, проходящий черз С касателен к окружности в С. Т е начиная раздувать эллипсы начиная с отрезка АВ и следя за моментами касания, получим все искомые точки. Очевидно, это не решение :), но "решение", ибо даёт возможность в воображении(или на экране монитора - если не полениться и запрограммировать, как сделал мой знакомый) проследить за поведением решений
    Grigoriy, 18 May 2006
    #19

  20. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Идею с эллипсами я тоже рассматривал.
    morkoffkin, 18 May 2006
    #20

  21. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Так. Предварительное впечатление оказалось верным. Этой проблеме 2000 лет. Доказательство методами теории групп о невозможности построения при помощи циркуля и линейки было выполнено недавно.
    Разберусь с материалом и дам нужные ссылки.
    morkoffkin, 18 May 2006
    #21

  22. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Оба на! Вот это круто... Ладно, скромный "кмс" от математики удаляется :)
    atoku, 18 May 2006
    #22

  23. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Я вот только не понял, чем мой метод последовательных приближений хуже эллипсов.

    Я бы программировал так,

    0. Ясно, что точек искомых две (доказательство очевидно)
    1. Берем любую точку X1 на окружности и проводим из нее хорды через две данные AB
    2. Пусть хорда [X1A) > [X1B) (нахождение длин хорд - секундное дело, продолжить их до окружности и найти длину) => Тогда дугу, стягиваемую [X1A] делим пополам и получаем X2.
    3. То же самое, но либо делим пополам дугу X1X2 либо снова удаляемся к точке А

    Процесс сходится к решению по теореме о стягивающихся отрезках :)

    Вторую точку находим элементарно тем же методом, но начинаем с противоположной дуги.

    Оценка точности метода - длина оставшейся дуги. Этого в эллипсах нету! Так то!
    atoku, 18 May 2006
    #23

  24. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Но вообще-то с эллипсом очень остроумно! Григорий, респект.
    atoku, 18 May 2006
    #24
  25. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Member Since:
    11.02.2006
    Message Count:
    4.122
    Likes Received:
    89
    Репутация:
    5
    Оффлайн
    Вообще то решений - 4 :) как видно из рассмотрения раздувающихся эллипсов - или взять точки симметрично относительно центра - тогда 2 решения - концы соответствующего диаметра, а ещё 2 - перпендикулярного диаметра :)
    Grigoriy, 18 May 2006
    #25

  26. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Да, четыре; Доказательство очевидно. :lol:

    И все они находятся методом последовательных приближений. Немного усложним разбиение на дуги, и все...
    atoku, 18 May 2006
    #26

  27. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Проблема: Alhazen's Problem
    Оригинальные статьи я сходу в интернете не нашел.
    Одна беллетристика, например
    http://www.ox.ac.uk/gazette/1996-7/weekly/200397/news/story_5.htm
    Называют не меньше чем последней проблемой Евклидовой геометрии.
    См. также
    http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html
    На русском, по-видимому, ничего интересного нет.
    morkoffkin, 18 May 2006
    #27

  28. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    А вот если точки лежат на окружности, кроме диаметрально противоположных, то решений два.
    atoku, 18 May 2006
    #28

  29. Guest

    Member Since:
    Message Count:
    0
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Онлайн
    Или бесконечно много, если обе точки находятся в центре круга :)
    Guest, 18 May 2006
    #29

  30. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    А Морко двойной респект. Гроссмейстер, элитный! :) ЭЭ!
    atoku, 18 May 2006
    #30

  31. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Member Since:
    19.02.2006
    Message Count:
    298
    Likes Received:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    morkoffkin, 18 May 2006
    #31

  32. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    А вообще, кончайте придуриваться. Придумали бы задачку какую-нибудь прикольную. И чтобы найти нигде нельзя было и чтобы решение было простое и красивое.

    А эту бильярдину фиг решишь. Вот только приближенно (вообще-то это моя специальность как-бы, если не считать геофизику), а точно - нету и решения. Что доказано, по свидетельству Моркоффкина, с непогрешимой точностью :)
    atoku, 18 May 2006
    #32

  33. atoku Модератор

    • Команда форума
    Member Since:
    05.02.2006
    Message Count:
    2.949
    Likes Received:
    9
    Репутация:
    0
    Location:
    USA
    Оффлайн
    Картинки красивые! Как это они только рисуют такие! И эллипс Григория есть и мои приближения :)
    atoku, 18 May 2006
    #33

  34. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Member Since:
    10.04.2006
    Message Count:
    3.709
    Likes Received:
    50
    Репутация:
    1
    Location:
    Кишинев
    Оффлайн
    да, я заврался. вот что значит слишком переоценивать свои возможности и не вникать в суть задачи... а еще чертеж неправильно делать ;)
    krey, 18 May 2006
    #34

  35. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Member Since:
    10.04.2006
    Message Count:
    3.709
    Likes Received:
    50
    Репутация:
    1
    Location:
    Кишинев
    Оффлайн
    тогда я дам задачку
    доказать, что вокруг любого выпуклого четырехугольника можно описать эллипс
    krey, 18 May 2006
    #35
Page 1 of 2

Share This Page