4 треугольника

Он выпуклый, четырёхугольник этот?

MS, а Вы уверены, что решение есть для всех выпуклых четырехугольников?
Мне кажется только для тех у которых точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
PS Есть еще узкий класс четырехугольников, где это требование не обязательно, но в общем случае решения нет.

Задача простая (и на мой вкус без изюминки - тупая элементарная техника), но решение не обязательно существует. Замечание Саши о диагоналях не понял.

http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin...volomki&action=display&num=1076670895&start=6

Для шахматистов это смертельный тест. Это всё равно что дать задачку "как играть белым", а в ответе стоит "сдаться"

В четырехугольнике ABCD Возьмем точку O - средину диагонали BD.
Тогда площади треугольников OAB и OAD равны, также площади треугольников OCB и OCD. Если все четыре площади равны, то все замечательно, но это довольно узкий класс четырехугольников. В общем случае они не равны и надо найти точку X, удовлетворяющую условию. Но тогда точка X должна лежать на прямой OA, чтобы площади треугольников XAB и XAD были равны, но также и на прямой OC. Значит, O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Напоминает, как меня Юрий Леонидович Ершов подловил на экзамене по логике. У меня в билете был вопрос по одной теореме из теории моделей, вот и дополнительный вопрос был построить модель с определенными свойствами. Я промучился, сколько позволили, но так и не смог. Как только закрыл за собой дверь на выходе с экзамена, сообразил, что теорема, которую я только что на экзамене доказывал, как раз и утверждала, что таких примеров нет и не может быть никогда.

Я рассуждаю автоматически, не думая и не тратя времени вообще. Дан 4-угольник АБСD. Если точка О - искомая, то отношение её расстояний до АБ и БС обратно отношению этих сторон, т е она лежит на определённой прямой, проходящей через Б. Тоже относительно вершины D. Но эти прямые очевидно не обязаны пересекаться внутри 4-угольника.

И раз уж зашла речь о гильбертовых пр-ах, расскажу - вдруг кто не знает, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве можно построить кривую, всюду перпендикулярную самой себе - т е для любых её 3-ёх различных точек А, О, В АО перпендикулярно ОВ

Посмотрел в книжку и привожу аккуратную формулировку(хотя вроде и моя верна) - построить непрерывную кривую в бесконечномерном гильбертовом пр-ве, у которой любые 2 неперекрывающиеся хорды(т е имеющие самое большее одну точку пересечения) - перпендикулярны

Мне представляется, что это утверждение или неверно или неточно сформулировано.

"Построить для любого бесконечномерного гильбертова пространства простую непрерывную кривую, у которой любые 2 неперекрывающиеся хорды ортогональны."
"2 хорды, соответствующие отрезкам [а,в] и [с, d] называются неперекрывающимися, если отрезки [а,в] и [с, d] имеют самое большее 1 общий конец".
На самом деле это лёгкая задача.

Честно говоря не понял что это значит. Любая точка лежит на определенной прямой проходящей через другую точку.

Это значит, что все такие точки лежат на одной прямой, проходящей через Б.

Это разные формулировки. Причем вторая неполная. Доказательство того, что утверждение в первой формулировке неверно:
Покажем, что не существует кривой такой, что любые две хорды, имеющие одну общую точку перпендикулярны.
Любая кривая в гильбертовом пространстве может быть перенесена так, чтобы она проходила через точку 0. Пусть хорды VU и WU, имеющие общую точку U перпендикулярны, т.е.
(V-U, W-U) = 0.
(V-U, W-U) = (V, W) ? (V,U) ? (U,W) +(U,U) = (V-0, W-0) ? (V-0,U-0) ? (U-0,W-0) +(U,U)
Как мы видим, все члены за исключением последнего есть векторные произведения различных хорд, имеющих одну общую точку и, следовательно, равны 0. Последний член ||U||**2 равен 0 только если U=0. То есть искомая кривая не содержит точек отличных от 0.

А вообще-то не стоит здесь размещать такие задачи.

Вы конечно правы, но главное не затрагивается - можно построить кривую, всюду перпендикулярную самой себе

И в самом деле легкая: возьмите однопараметрическое семейство функций, вида: f_t (x) = 1 (x <= t) (t \in [0,1]) и считайте их элементами пространства L^2 [0,1] квадратично-интегрируемых на [0,1] функций.

Вот и все.... . Любые две хорды, т.е. разности (f_t - f_s), (f_u - f_t) (если только s < t < u) будут ортогональны друг другу.