задача на экстремум

привет всем!как найти минимальное расстояние между двумя параболами?у меня все сводится либо к нахождению экстремума через решение кубического уравнения,что плохо,либо к нахождению минимума суммы квадратов линейной и квадратичной формы,что,кажется,более перспективно в общем виде.помоготе!срочно!

Общая схема:
Пусть есть 2 кривые, заданные ур-ями
Ф1(х,у) = 0
Ф2(х,у) = 0
Найти минимум расстояний между ними.
Если они пересекаются, то очевидно ето точки пересечения и расстояние там 0.
Если нет, то отрезок, соединяющий точки, на которых достигается минимум, перпендикулярен к соответствующим кривым в етих точках.
Т е если обозначить искомые точки А1 =(х1,у1), А2 = (х2,у2), то вектор
(х1-х2, у1-у2) параллелен градиентам Ф1 и Ф2 в точках А1 и А2 соответственно( и, соответственно, ети градиенты параллельны между собой).
В нашем конкретном случае имеем 2 квадратичные функции
Ф1 = а1*х**2 + ... + ф1
Ф2 = ...
Просматриваются 2 пути решения задачи:
1.
Для любого данного вектора направления находим точки на параболах, где касательная совпадает с этим векторам, и смотрим, перпендикулярна ли прямая, соединяющая ети точки данному вектору.
2. Для любой данной точки на, скажем, первой параболе, проводим прямую параллельно градиенту до пересечения со 2-ой, и смотрим, параллелен ли ли градиент 2-ой функции в получившейся точке исходноу.
Понятно. что способы д б еквивалентны, но какой удобнее - надо считать.
Также заметим, что я не пользовался тем, что кривые - именно параболы. Но Вы и не сказали, что они и расположены канонически, т е что уравнение имеет вид
у = ах**2 + 2вх + с
а тогда и непонятно, как использовать, что это параболы

То,что пишет Григорий,я делала,но там вылезает уравнение третьей степени,которое не раздраконишь в общем виде,везде гнусно.а параболы канонические.мне тоже,как Атоку,кажется,что все проще.но как?!

У меня проще не получилось. За исключением случая, когда они пересекаются
А что страшного с решением кубического уравнения? Есть же формулы для вычисления корней. Тем более, что если параболу представить в виде: y=a*(x-b)^2+c то в кубическом уравнении вторая степень уже будет исключена. Едиственная тонкость, из трех корней два могут ложными, соотвествовать либо локальному максимуму, либо минимуму, но тоже локальному.

Зачастую эти формулы представляют корни ну в совсем уж жутком виде, в то время, как на самом деле они могут быть даже натуральными числами. И самое неприятное здесь - невозможность конструктивного приведения их из "трёхэтажного" состояния в более естественное. Остаются только искуственные методы, но сами понимаете, они далеко не всегда работают...

В качестве яркого примера вышенаписанного приведу такое уравнение: 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1 = 0.

К сожалению, 3-я степень видимо по существу, и от неё не убежать Мне-то казалось, что там квадратное уравнение, но это очевидно не так. Возьмём стандартную параболу у = х**2 и немного её приподымем. Сразу видно, что есть минимумы - видимо по одному на ветвях и локальный экстремум (но не минимум)в вершинах. Но уравнение то должно давать и его!
В общем же случае для квадратичной формы, как показывает пример эллипса, должно получаться уравнение 4-ой степени.

Третья степень по существу вылезает,если решать через нормаль или шарахать матаном по функции,формула Кордано-Тартальи только в теории хороша,но если обойтись без поиска экстремума,а найти способ отыскать сразу наименьшее значение,неравенством Коши например(у меня не получается) или как нибудь еще.?Ладно,выкладываю конкретную задачу: найти расстояние между параболами у=х^2-2х и у=-х^2+18х-41(МИФИ).Но даже если здесь удасться отыскать корни в кубическом уравнении,которое меня не вдохнавляет на подвиги,то все равно интересно,что делать в общем случае?

Вообще говоря,расстояние в проективном преобразовании,конечно,не инвариант,но если точки,дающие минимум оставить на месте(кто бы знал,где они),то расстояние сохранится,если остальные точки ближе не приползут

Так они вроде пересекаются, поэтому ответ очевиден - 0.

прошу прощения,ошибка при выкладывании,вторая функция у=-2х^2+18х-41

Я не перепроверял, но там кубическое уравнение очень простое, типа (x-1)^3 = 7/6.

Нет,кубическое урвнение гораздо хуже,но если толком нарисовать картинку,то видна нормаль к графикам,она проходит через (2;0) на первой и (4;-1) на второй.Убиться веником.Но что делать в общем случае?Похоже,что ничего.Спасибо всем.

Хорошая идея про Шихановича,пусть тоже на форуме тусуется

OK, пока дочка играет в бадминтон, у меня есть время все перепроверить и оформить решение.
Итак у нас две параболы:
y1 = f(x1) = (x1-1)^2 - 1
y2 = g(x2) = -2*(x2-4.5)^2 -0.5
Для справки, производные функций f и g равны:
f'(x1) = 2*(x1-1)
g'(x2) = -4*(x2-4.5)

Нам надо минимизировать
D^2 = (f(x1)-g(x2))^2 + (x1-x2)^2

Для минимума необходимо, чтобы обе частные производные по x1 и x2 были равны нулю:
1. 2*(f(x1)-g(x2))*f'(x1) + 2*(x1-x2) = 0
2. 2*(g(x2)-f(x1))*g'(x2) + 2*(x2-x1) = 0

Складываем уравнения 1. и 2. и получаем:
2*(f(x1)-g(x2))*(f'(x1)-g'(x2))=0
то есть, либо f(x1)=g(x2), но тогда в совокупности с уравнением 1. и x1=x2 и параболы пересекаются, а наши параболы не пересекаются, значит - f'(x1)=g'(x2) (это как раз то, что Григорий говорил о паралельных касательных) или
3. (x1-1) = -2*(x2-4.5)
Введем переменную t=x1-1 и выразим уравнение 1. через t с учетом равенства 3. ((x2-4.5)=-0.5*t):
4. 2*(t^2-1 + 2*0.25*t^2 + 0.5)*2*t +2*(t+1 + 0.5*t - 4.5) = 0
или
5. 6*t^3 + t - 7 =0
Вот этот довесочек в t я и прозевал вчера, но и с ним решение угадывается очень легко, обратите внимание, что сумма коэффициентов равна нулю, и значит t=1 является корнем, а других вещественных корней нет. По уму надо конечно посчитать вторые производные и убедиться, что Якобиан положительно определен, но по сути понятно, что ничего кроме минимума у нас быть в данном случае не может.
Ну а чему равно D?
x1=t+1 = 2,
x2 = 4.5 - 0.5*t = 4,
f(x1) = 0,
g(x2) = -1,
D = sqrt((0+1)^2 + (2-4)^2) = sqrt(5)