Гамма-функция и факториал: вычислительные вопросы

Можно ли найти формулу и написать программу точнее, чем эта?
Программа определяет факториалы чисел от -1754.5 до 10^4928. Точность - до 18 знаков, включая степень числа.
—————————————
{$N+}

var
n:extended;
d:array[0..101]of extended;

function power(a:extended;f:longint):extended;
var
g:longint;
h:extended;
begin
if f = 0 then power:=1 else
begin
h:=a;
for g:=2 to f do h:=h*a;
power:=h;
end;
end;

function lnfact(z:extended):extended;
var
r,i,old:extended;
j:byte;
begin
i:=0;
old:=0;
for j := 0 to 50 do if (ln(z)*j)>11352 then break else
begin
i:=i+d[j]/power(z,j);
if old = i then break else old:=i;
end;
r:=ln(z/exp(1))*z+ln(sqrt(2*z*pi))+ln(i);
lnfact:=r;
end;

function smallfact(x:extended):extended;
var
r,z:extended;
a,b:byte;
begin
a:=trunc(x);
z:=frac(x);
r:=exp(lnfact(7+z));
for b:=7 downto a+1 do r:=r/(b+z);
smallfact:=r;
end;

function negfact(x:extended):extended;
var
z:extended;
begin
if (-x) < 7 then z:=smallfact(-x) else z:=exp(lnfact(-x));
negfact:=pi/sin(n*pi)*n/z;
end;

function double(f:longint):extended;
var
k:longint;
r:extended;
begin
r:=1;
for k:=1 to (f-1) div 2 do r:=r*(k*2+1);
double:=r;
end;

procedure filldata;
var
t,k:byte;
s:extended;
begin
d[0]:=1;
d[1]:=1;
for t:=2 to 101 do
begin
s:=0;
for k:=2 to t-1 do s:=s+(k*d[k]*d[t+1-k]);
d[t]:=(d[t-1]-s)/(t+1);
end;
for t:=1 to 50 do d[t]:=double(2*t+1)*d[t*2+1];
end;

procedure bigfact;
var
r1,r2:extended;
begin
r1:=lnfact(n)/ln(10);
r2:=exp(frac(r1)*ln(10));
r1:=int(r1);
writeln('n! = ',r2:1:17,'E+',r1:0:0);
end;

function fact(x:extended):extended;
begin
if n < 0
then fact:=negfact(x)
else if n < 7
then fact:=smallfact(x)
else fact:=exp(lnfact(x));
end;

begin
filldata;
writeln('n!, Ctrl-C - exit');
repeat
write('n = ');
readln(n);
if (n < -1754.5) or (n > 1E+4928)
then writeln('Sorry for n exceeds the limits of -1754.5 to 10^4928.')
else if (n < 0) and (frac(n) = 0)
then writeln('Sorry for n is negative integer; division by zero.')
else if n <= 1754.5
then writeln('n! =',fact(n):26)
else bigfact;
until false;
end.
—————————————

Обычному виндозному калькулятору это ограничение нипочём.

bye

Да, калькулятор классно это делает. Но ограничения всё же есть. Калькулятор не может решить, например 4 000 000 000!, а найти логарифм его несравнимо проще.

По первой же ссылке нашёл аглотитм только для целых n (integer для Delphi). Разве можно найти ещё что-то?

Вот тут есть кое-что
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_approximation
http://en.wikipedia.org/wiki/Spouge's_approximation

Нет, мы говорили об алгоритмах. Формулу для ln(n!) я конечно нашёл
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

Вот версия программы, для которой практически нет ограничений на величину n.
Правда, точность ниже, чем у предыдущей. Я думаю использовать другую формулу.
Калькулятор Windows врядли подсчитает вам хотябы (9!)! А этот - сразу решает даже (20!)! (Число настолько большое, что подсчитать даже количесво знаков получается лишь приблизительно).
Например, попробуйте проверить на Калькуляторе Windows моё утверждение, что (15!)!=6*10^15276520209205.
—————————————————————-
Ввёл изменения в первый пост.
—————————————————-

Да тут и без калькулятора видно, что они не равны.

При чём тут ln(n!)? Там по ссылкам разные ряды для гамма-функции, позволяющие с произвольной точностью посчитать n!.

А сейчас это делается on-line.
Вот ссылка (я сейчас не могу открыть), где есть ссылка на калькулятор:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Факториал
Он вычисляет только положительные целые до 5000. Но зато абсолютно точно.

Что значит "не равны"? С заявленной точностью, равны.

Читаем дальше:

То есть, при 18 знаках мы найдём только 11. И это при том, что я не знаю, как перевести Г(n) в n! при нецелом n.

Ну вы тут точность с которой считали не писали, да и знак "равно" стоит

Spouge's approximation c любой точностью приближает, так что ответ на ваш пост #1 — да, можно.

А что это за зверь такой, n! для нецелых?

У меня другого знака нет. Точность до последнего заявленного знака.

Вот моя программа как раз вычисляет для целых и нецелых.

Интересное определение.

А Гамма функция не определена везде на реальной оси или как? Значит должна быть какая-то конвенция для нецелых n :rolleyes:

В том-то и дело, что Гамма-функция определена много где, а вот про факториал впервые слышу.

Ну, по-определению факториал только для целых... Но! В комбинаторике не принято использовать гамма-функцию, а если я считаю сочетания по нецелым значениям? То мне нужен дробный факториал! Примеры когда нужно обощить сочетания на нецелые значения приводить не буду, но они есть...

Vladimirovich, drowsy.
Ну так я знаю, что можно. Факт тот, что кроме меня это никто не напишет.

Да, но у нас-то этого "всего" нет. Кроме Калькулятора Windows, но он ограничен. Нужно попросить Юрия Осипова, чтобы дизассемблировавал.

Это даже лучше, чем предыдущий калькулятор по ссылке Wiki. Но опять же, считатает только целые.
Возможно, я буду использовать её библиотеку для своей программы. Но нужна более точная формула. Например, как Калькулятор Windows так точно показывает, что 0.5! = sqrt(pi)/2.

Последнее не относится к факториалам, для чего нужна другая формула нежели простое умножение, которую нужно взять где-то ещё.

При чём тут гамма-функция? Если даже если она точнее, чем та формула, что у меня уже есть, то как перевести?

Вот именно, что натуральное число считается целым числом, во всяком случае здесь.
И почему Вы решили, что алгоритм расчёта Гамма-функции точнее, чем тот алгоритм расчёта факториалов, что у меня уже есть?

Ну так ясно, что искать, вот я и ищу.
Если бы гамма-функция и факториал были бы "одно и то же", это можно было доказать.
Г(0.5)=0.886
-0.5!=1.77
Г(-0.5+1)=Г(0.5)<>-0.5!