Гамма-функция и факториал: вычислительные вопросы

Pia, научите свою программу считать т.н. "факториалы комплексных чисел". Виндозный калькулятор нужно догнать и перегнать!

Вот вы как уже заговорили :rolleyes:

Потому что доказывать что-либо бесполезно - здесь я полностью согласен с Vladimirovich'ем.
И если виндозный калькулятор городит чушь, то нужно в этой чуши его догнать и перегнать. Вперёд, Pia!

Опять, как обычно, пустозвон. Ну что вы пытаетесь доказать? То, что формула Лапласа считает не факториалы, а Гамма-функцию? Вот это чушь. Не лезьте со своим бредом.
У меня есть формула

И мне не нужно слушать дураков и считать ещё бесконечный ряд произведений для каждого слагаемого.

Намного лучше, чем то, что вы впариваете:

Я сейчас подумал, ряд r(r-1)(r-2)(r-3)...(r-(k-1)) можно оптимизировать, сохранив результат последнего произведения для суммы следующих произедений. Но не все ряды поддаются такой оптимизации. Например ряд r(k+1)r(k+2)... потому, что у нас каждый раз будет разное k.
Факториал целых и нецелых чисел можно тоже рассматривать как ряд. И его можно оптимизировать.
Например, у нас есть (r-k)! Сохраняем результат и при следующем сложении просто делим его на r-k. Так нецелый факториал мы вычислили только один раз.

Это вообще не ряд .

...И что мы имели ввиду, мы тоже вообще не знаем?

krey
Кто сказал, что важнее формула, чем результат? Вбейте свою формулу в программу и посмотрим.
Ну да, бесконечное число слагаемых можно назвать суммой. Бесконечное число множителей - произведением. Но в обоих случаях это бесконечное число - ряд.
Даже если моя программа тратит 200 оперций, это всё равно в 75 раз меньше. Я же написал: 1 секунда против 34 - я замерял таймером. И вот, напрмер, факториал 60000! - это 60000 операций или 200 - как лучше, а? Кстати, моя программа вычисляет факториалы не обращая внимания на то, целое число или нет. Так, например 3! = 6 целых и ещё 17 нолей после запятой - вот какая точность. Можно проверить для нецелых: 0.5! = pi^0.5/2 - моя программа и здесь даёт 17-18 знаков. А Вы говорите "не факториал, не факториал...", хе-хе.
r должна быть нецелой, иначе пользуемся другой формулой с самого начала.

При чём тут Фихтенгольц, если есть формула??

krey
Ткнули пальцем в небо! Да, для 60000! моя программа сейчас производит 1344 операций.
60000^2/2 / 60000/2/1344 = всё равно, в 11 раз меньше.
А я не говорю, что вычисляю нецелый факториал. Моя программа вычисляет факториал вообще. Не может быть, чтобы какая-нибудь функция была определена только для целых чисел. Просто формулы для целых могут быть проще, используя другие свойства чисел.

Как мы знаем, Гамма-функция обычно вычисляется формулой Стирлинга. Но чёрта с два эта формула для Гамма-функции.
Стирлинг определил:

А если точно, то формула Лапласа:

И ещё раз: Г(z) <> z!

Я немного оптимизировал программу, так что для 60000! требуется около 31 операций, а не 1344 или 200.

Нет, потому, что Г(z) = (z-1)!
Возъмём натуральное число: Г(5) = (5-1)!
Возъмём реальное число: Г(4.5) = (4.5-1)!
Что, есть разница?
Почему это факториал определён только для натуральных чисел?
Это не факториал определён, а определено, что множество определяет факториал для натуральных чисел.
Для реальных, опеределяет не множество, а, например формула Лапласа или формула Г(z+1). Как бы мы не определяли, конечный результат будет факториал, а не "число Лапласа", гамма или пи-функция.

Ещё один шикарный перл от Pia. Хотя их тут навалом...

Ещё одно бессмысленное замечание. Чё, делать не фига? Иди молоко на губах оближи через задницу.

В Вики написано, что эта формула только для целых положительных. Но это ложь.

n! = 1*2*3*...*n. Для рельных чисел такое множество не определяет факториал, но это не значит, что факториал реального числа не определён. Используй интерполяцию, да что угодно, но факториал нецелого числа определяется.

И это уж моё дело, по средствам чего я нахожу результат.

Если f(x) = x!, то эту функцию можно назвать факториалом, нет?

А вы на осмысленные не отвечаете. Видимо потому, что не понимаете смысла. У вас тут уже спрашивали, почему вы факториал через *** расходящийся ряд определяете, вы же все вопросы проигнорировали.

Значит и будем с вами сюсюкаться через бессмысленные замечания, раз так не доходит.

Факториал ещё в нуле определён, если быть точным.

вы имеете в виду, что советская эпоха закончилась и теперь мы в Европе?

В канадском учебнике, по которому я учу своих студентов, как раз натуральные с единицы начинаются. Точнее так — учебник американский, но мы им тут пользуемся.

ЗЫ Вообще я только видел N_0 как натуральные с нулём.

Нет, именно, сказано, что факториал может быть также определён для нецелых (non-integer). Сказано, что, чтобы заполнить пространство, например, между 2! и 3!, нужно пользоваться другими инструментами нежели простым умножением. Сказано, что этому требованию отвечает Гамма-функция, но нельзя сказать, что результат от нецелого числа будет называться не факториалом, а Гамма-функцией. И нельзя сказать, что для этого можно пользоваться только Гамма-функцией. Просто для его вычисления была использована Гамма-функция вместо умножения. Факториал можно назвать произведением если мы использовали умножение или Гамма-функцией, если мы использовали её, но конечный результат - факториал - так и останется факториалом. И вообще, моя программа использует не Гамма-функцию, а формулу, написанную специально для факториалов.

У меня сходящийся ряд есть, но найти коэффиценты для него мне представляется более сложным занятием. При том, что я не вижу предела точности для своего, расходящегося ряда. Просто не беру коэффиценты там, где ряд расходится. Когда мне нужна бОльшая точность, то беру факториал большого числа, где этот ряд достаточно точен, и преобразоваю его в нужный факториал простым делением.