Гамма-функция и факториал: вычислительные вопросы

Зная Vladimirovicha по делам в Линаресе (он считал там рейтинги) полагаю что будет делать это аккуратно используя карандаш и бумагу ...

при n = 1000 - 39 операций. Я для себя модифицировал программу чтобы автоматически их считала.

Модифицировал так же чтобы засекала время на посчёт произведений и факториалов.
Получилось, что на подсчёт одного факториала (со всеми экспонентами и логарифмами) требуется столько времени, сколько на 160 произведений. То есть, моя формула выигрывает над формулой Vladimirovicha уже при k = 160 и больше.

Абсолютно непринципиально.

Куда и Pia, естественно. Была просьба предоставить своё представление, а не ссылку на формулу из википедии.

Защита методом "сам дурак"? Вообще-то, мой вопрос был адресован Pia, поскольку есть сильное подозрение (мягко говоря), что он не имеет ни малейшего представления о том, что пишет.
Первичное значение k^n - это вовсе не "количество возможностей раскидать n-элементное множество на k частей", а произведение n множителей, каждый из которых равен k. Что такое возведение в рациональную степень, нужно объяснять? Что такое иррациональное число, нужно объяснять? Ну и говоря простым языком, n^e следует понимать как lim(q->e, q є Q) n^q.

И на следующий день такой человек будет всем впаривать решение задачи о трисекции угла (к примеру) с уверенностью, что сделал нечто стоящее. Тяжело ли будет его поддержать?

И всё же, повторю ещё раз: пусть на вышепоставленные вопросы ответит сам Pia, поскольку они (вопросы) писались исключительно для него. Всё остальное - оффтоп.

Никакие это не вопросы. Вопросы требуют ответа, а эти - нет.

Значит, это Вы не имеете представления, даже что такое равенство в формуле.

Не совсем из википедии. Я сжульничал

Дело в том, что есть два числа, квадрат которых равен -1, и совершенно непринципиально, какое из них назвать i, а какое - -i.
Про многочлен полностью согласен, но я ведь о другом. Когда говорится "найти решение уравнения", это ведь не означает "найти только одно решение". Точно так же и с моим высказыванием о числе, квадрат которого равен -1.

Непринципиально, откуда.

Что ж, тогда мне остаётся лишь присоединиться к призыву Vladimirovich'а покинуть эту тему. Рано или поздно так поступят все отборные дауны в математике, и можете торжествовать.

Я и предоставил вам понимание Pia. По-моему, тут всё ясно. Сейчас мне интересен другой вопрос: есть ли границы вашей серьёзности? Думаю, пора выдвинуть гипотезу, что границ нет.

Защита? Разве кто-то нападает?

Нет, мне в самом деле было непонятно, что вы подразумеваете под "своим пониманием".

У меня нет такого подозрения. У меня есть стопроцентная уверенность, причём уже после первых пяти его постов в этой теме. А ещё есть недоумение: что именно вы хотите ему объяснить?

А "первичные значения" вы распределяете? Как насчёт изменения "первичного значения" для биномиальных коэффициентов - пусть это будут коэффициенты полиномиального ряда для (1+x)^n, как обычно.

Представляю свою программу для точного счёта целых факториалов. Она раз в 5 быстрее чем то, что представил Mustitz.

Код:

program Factorial;
{$APPTYPE CONSOLE}
const
  d=500000;
var
  n,i,j,k:integer;
  f:array[1..d]of integer;
begin
  repeat
  for j:=1 to d do f[j]:=0;
  writeln('n! n = 0..108653, Ctrl-C - exit');
  write('n = ');
  readln(n);
  j:=d;
  f[j]:=1;
  for i:=1 to n do
  begin
    for k:=d downto j do
    begin
      f[k]:=f[k]*i;
    end;
    k:=d;
    while j <= k do
    begin
      if f[k]>9 then
      begin
        f[k-1]:=f[k-1]+(f[k] div 10);
        f[k]:=round(frac(f[k]/10)*10);
        if j > (k-1) then dec(j);
      end;
      k:=k-1;
    end;
  end;
  write('n! = ');
  for i:=j to d do write(f[i]);
  writeln;
  writeln('Digits: ',d-j+1);
  until false;
end.

Муркенштейн, вижу, что вроде разбираетесь , не подскажете ли чему равно главное значение скорее многозначной экспоненты (-1)^(-i)? Несколько раз тут спрашиваю у математиков-конспирологов и не могу добиться ответа. Спасибо

gennah, теперь Ваша позиция понятна. Прошу прощения, изначально не сориентировался .

Это просто фраза. Можно считать "аргументация".

Объяснение своими словами.

Ключевые слова у меня в скобках .

Хотелось проверить, возможно ли вообще получить от него вразумительный ответ.

Ну, насколько помню, определения P(n), C(n,k) и A(n,k) - комбинаторные (т.е. кол-ва перестановок, комбинаций и размещений). Да и сами обозначения происходят (насколько себе представляю, т.к. тут могу ошибаться) от Permutations, Combinations и Arrangemets.

Ожидал, что рано или поздно этот вопрос будет задан . Давайте, я попробую ответить на него завтра.

Интересно зачем ожидали, из-за прежних попыток?

Муркенштейн, ну вот вроде и разобрались. Как я уже писал, серьёзно тут говорить не о чем, вот я и пытаюсь шутить... порой не совсем удачно... порой совсем не удачно. Прошу прощения.

По поводу сочетаний: в принципе, в англоязычной литературе символ C(n,k) встречается всё реже и реже (а русской литературы я читаю всё меньше и меньше)... Ну и раз уж для целых n, k биномиальные коэффициенты и сочетания есть одно и то же, то подойти к определению можно с любого бока, и то, что тут привёл Pia - вполне используется, и даже является своего рода определением для нецелых, как он и пытается утверждать. Что, конечно, не отменяет того факта, что Pia ни бельмеса в тех формулах не понимает. Он также не понимает, что такое "точность" (которую он всеми силами повышает), как и где она может теряться, не понимает, что такое сходящийся и расходящийся ряд, и вообще очень нелегко определить, что же именно он понимает. Зато энтузиазма - на целый институт. Его подход именно таков, как я и пытался подчеркнуть: "У меня есть формула, и я её считаю".

На мой взгляд, пущай пишет, считает, сражается с калькулятором Windows... Может, что-нибудь по пути выучит. Лично у меня калькулятора Windows нет (потому что Mac OS), так что для вычисления факториалов и гамма-функций я буду использовать MatLab или Mathematica, или что-то ещё в том же роде.

Всё верно. Во время учёбы в университете мы это обозначение уже не использовали (хотя в школе оно было). Я его поставил только потому, что не знаю, как тут написать вертикально (k n).

Очевидно, есть. Не пойму я перехода, выделенного жирным.

Да. У меня получилось вот такое:
(-1)^(-i) = exp(-i*ln(-1)) = exp(-i*i*pi*(2*n+1)) = exp(pi*(2*n+1)), n є Z. Соответственно, главное значение должно быть e^pi.
Мог что-то упустить, поскольку не решал подобные упражнения уже лет семь.

Да, e^pi...

Спасибо, значит выходит, что формальное возведение в степень -i равенства Эйлера e^(i*pi) = -1 приводит к корректному результату e^pi, в чём не был уверен

Кстати, есть упражнение посложнее и поинтереснее (поскольку затрагивает основную тему): доказать формулу дополнения гамма-функции.