задача на периодичность

Уважаемые академики!
вот такая есть задачка, которая поставила меня в тупик и просит посторонней помощи: доказать, что действительное число 0,1248163264128... (и т.д. по степеням двойки) - НЕ периодическое.
интересно было бы послушать, что вы можете предложить.

 

Допустим, что оно периодическое. Можно всегда подобрать число n так, что цифры 2^n будут составлять этот один период. К этому утверждения я вернусь чуть позже, а пока посмотрим на его следствие. Чтобы Ваше число было периодическим надо чтобы 2^(n+1)/10 (целочисленное деление) было равно 2^n, что очевидно неверно. Теперь про выбор числа n. Пусть p - величина периода. Тогда подберем n так, чтобы в числе 2^n было p цифр. Сдвинуть период так, чтобы захватил в точности все цифры 2^n всегда можно. Ну и еще один нюанс. Периодичность не всегда начинается с первых цифр десятичной дроби. Но где-то же она начинается. Заменим p на k*p и целое к подберем так, чтобы (k*p)-значные степени двойки были уже в периодической части дроби. Ну вот и все.

 

угу, спасибо. я полчаса назад пришла именно к этому же решению)

 

что бы мы без вас, мастеров, делали... я-то пока что всего лишь учусь... но неуклонно стремлюсь к вершинам)
люблю математику... но такие задачки как орешки щелкать не хватает мастерства(

 

Я бы изложил видимо примерно тоже(Саша, я не понял до конца Ваше) решение как мне кажется проше. Пусть есть период длины n. И периодичность начинается с некоторого к. Найдём степень двойки В = 2**l, записываемую n*m цифрами, и стояшую в записи после начала периода. Тогда обозначая А число, записываемое первыми n цифрами 2**l, имеем
В = А*(1 + 10**n + ... + 10**(n*(m-1)))
Но 2-ой сомножител' очевидно не есть степень двойки.

 

Григорий, насколько я Вас понял, я то же самое решение изложил, но другими словами.