Математическая помощь. Трудные задачи

не совсем понятно откуда(да и зачем) там док-во существования и единственности.

Единственность из самого решения сразу вытекает. А существование решения необходимо доказать, то бишь привести пример. Не вижу противоречия у Григория.

Мне вот что интересно. Человек запостил задачу, которую ему задали. Григорий решил задачу и подсказал человеку ответ и идею решения. Я предложил написать решение, если ученик/студент сам не разабрался.
А от kms07 ни слуху ни духу. Хотя бы он какое спасибо сказал.
Зарегестрировался он здесь только для того, чтобы ему решили задачу, а к шахматам, возможно, никакого отношения не имеет. Небось, сделал поиск по рунету, наткнулся на эту ветку, которую Рома неосмотрительно назвал "матпомощь".

Если единственность вытекает из самого решения, то к чему доказательство существоания решения?
в обратном порядке еще бы можно было понять.

Зачем что-то доказывать?
Вот решение, из которого все ясно.
*****************************************
Пусть математиков n1, а физиков n2. Тогда математики с физиками сыграют (2*5+n1) партию, а физики с математиками (2*12-n2) партий.
Получаем 2*5+n1=2*12-n2 или n1+n2=2*12-2*5=14.
*****************************************
Однозначно определить n1 и n2 невозможно, но всего шахматеров - 14.

Сергей, это у Вас заскок. Это только д-во единственности(если решение существует то только 14) Пример надо предьявлять отдельно , что конечно очень просто. (c m = 2 и f = 12). Я кстати не уверен, что другие существуют(лень проверять, xотя это тоже, конечно, очень просто)

Григирий, наверно СергейП считает, что решение существует, как только он нашёл суммарное число игроков. Для меня это не так очевидно.

Из решения вытекает суммарное число физиков и математиков 14.
Пример решения всё равно надо дать. Судя по всему, и мне, и Григорию, пришёл в голову простейший:
2 математика играют 5 партий между собой. 12 физиков разбиваются на 6 пар и играют по 2 партии в парах. 1-й математик играет по 1 партии с каждым из 1-й шестёрки физиков, а 2-й математик - по 1-й партии со 2-й шестёркой.

Интересно рассмотреть все возможные комбинации - 3 математика, 4 и т.д.

Скажем, для 12 математиков и 2-х физиков:
2 физика играют между собой 12 партий. Соответственно, каждый из них играет 11 партий с математиками. Всего 12 математиков должны сыграть 22 партии с физиками.
Разбиваем 12 математиков на 5 пар (двое остаются "безхозными"). 5 пар играют по 1-й партии между собой, и каждый из них, 10, играет по 2 партии с физиками - всего 20 партий с физиками. Оставшиеся 2 партии с физиками играют безхозные - по одной каждый.

Уровень Сергея такой(уж всяко выше моего), что его непонимание в данном случае именно заскок.

По-моему, Вы меня переоцениваете (математически)
Это уж в шахматном смысле скорее есть собственная недооценка, все таки КМС 80-х, а что особенно приятно, 2-хкратный вице-чемпион России
Правда в команде, по переписке, но все же. Тогда сами играли
Сейчас как-то понимание осталось, а уровень не тот

Ну а по сути задачи - по-моему все очевидно. На решение накладывается 2 ограничения: n1>=2 и n2>=2 . И все!
При любом n1 от 2-х до 10 есть соответствующие реализации, причем их много (ну кроме крайних случаев). Расписать это долго, можно предложить для примера граф: ребра - партии, студенты - вершины. Граф делим на 2 компоненты: 1-ая математики, 2-я физики. В 1-ой компоненте 5 ребер, во 2-ой - 12. 1-я компонента связана со второй 10+n1 или 24-n2 ребрами. Накладываем условия, что для 1-ой компоненты для каждой вершины количество ребер во 2-ую компоненту на 1 больше количества ребер, связывающих вершину с вершинами из этой же компоненты. Ну естественно, речь идет о мультиграфе - возможны параллельные (кратные) ребра. Совершенно очевидно, что такие графы существует для всех n1 от 2 до 10, причем далеко не единственным образом. Только крайние случаи (2 и 12) имеют одно представление.
Например, при n1=4 возможны вариаты:
1) 2 математика играют 5 партий между собой, 2 с математиками не играют. Тогда первые 2-ое проводят по 6 партий с физиками, а 2-ое последних - по 1 партии, всего 14 партий.
2) 4 математика проводят между собой круговой турнир, в котором одна партия оказалась не сыгранной. У 2-х по 3 партии с математиками, у 2-х - по 2. Тогда с физиками 2-ое первых играют по 4 партии, а 2-ое последних - по 3. Всего те же 14 партий.
Тоже самое с физиками (с учетом их особенностей).

Уфф. По-моему должно быть ясно, что доказывать нечего, какие n1 и n2 не возьмем, то и легко построим (причем далеко не одним способом).

Это всё понятно, но из решения непосредственно не видно, что есть игры, удовлетворяющие условию. Исходя из допущения, что таковые есть - вычисляем требуемое число игроков - т е чисто д-во единственности.

Grigoriy, СергейП - это не я

Большое спасибо всем, кто принял участие в решении и обсуждении предложенной мною задачи! в процессе обсуждения удалось выяснить, что задача имеет единственное решение, т.е. дуалей и побочных решений нет, и, что немаловажно, "красивая задача".
Следовательно, задача имеет право на существование.
А evgeny, за то, что сразу не поблагодарил, приношу свои извинения. К шахматам отношение имею, kms - это по композиции.

kms07, нет проблем. Пишите ещё.
Красивым задачкам мы всегда рады.

Предлагается простенькая головоломка: Расставить на пустой доске белого короля с 2-мя ладьями и одного черного короля так, чтобы белые дали наибольшее число матов в 1 ход.

У меня получилось 4 варианта мата.
Вот так

Правильно. Обычно находили 3, забывая про рокировку.
Более трудная: Расставить на доске 8 белых фигур (без пешек) и 1-го черного короля так, чтобы белые не могли дать шах в 2 хода. Черный король неподвижен, не находится в углу, белые слоны разноцветные.

Свежая задача по математике.
Некий купец, всю жизнь торговавший зерном, обнаружил, что продукция молодых конкурентов стала пользоваться большим спросом, чем его. Причем дело не в качестве зерна, а в новомодных немецких способах его продажи. Купец съездил в Европы, поучился у тамошних купцов. Приехав с Европ, начал продавать свой товар по-новому, а именно (сама задача):
Покупатель покупает куль зерна весом в 3 пуда. Это зерно он может пересыпать в 3 мешка поменьше, после чего приказчик один, два или все три мешка кладет на весы на одну или на обе чашки весов. Потом добавляет 4-й мешок зерна на весы так, чтобы весы были в равновесии. Этот мешок, как призовой, бесплатно отдается покупателю дополнитeльно к тому зерну, что он уже купил. Естественно, покупатель хочет, чтобы призовой мешок зерна был "потяжельше", приказчик же - "полегше". Вопрос: Каков вес призового мешка при наилучших действиях обеих сторон?

Вроде бы 1/7 от первоначальной покупки (т.е. 3/7 пуда), надо разбить все зерно на 3 части: 1/7, 2/7 и 4/7.

Надо доказать, что для купца это наименьшее, а для покупателя наибольшее. В этом смысл задачи.

Еще задача.
10 учеников договорились на перемене поиграть в снежки. Правила следующие:
1. Каждый ученик имеет 2 снежка.Все ученики кидают одновременно.
2. Один снежок кидает в ближайшего к нему игрока (если ближайших несколько, то в любого из них), а второй сразу же в наиболее удаленного (если их несколько, то в любого из них).
Вопрос: Какое наибольшее число снежков может попасть в одного ученика?
(ни один не промазал, промежуток времени
между 1-м и 2-м снежком нулевой, т.е.ученики не успевают сменить позицию.)

10 снежков. В окружность вписываем равносторонний треугольник, одного ученика помещаем в вершину треугольника, 8-в отрезок окружности между другими вершинами треугольника, десятого в центр окружности. Тогда стоящий в центре может кинуть в первого 2 снежка, а остальные по одному как в самого дальнего.

Еще задача: В ряд записано 50 разных чисел. Ровно 15 больше своего предыдущего. Сколько чисел больше последующего?

Задача для начальных классов.
Дата записывается при помощи 8 цифр, например 9 декабря так: 09.12.2009. Записать ближайшую дату из будущего, в записи которой все 8 цифр различны.

Дамы и господа! Я уже получил помощь на этом форуме. Спасибо. Помогите еще раз.
Шестизначное число, в котором все цифры различны, при умножении на 2, 3, 4, 5, 6 дает тоже шестизначное число с теми же цифрами. Найти это число.

142857. (Кстати, это период дроби 1/7 !). Задача старинная. Подробное решение можете найти, например, в книге Шклярского, Яглома (там еще какой-то третий автор) "Избранные задачи и теоремы элементарной математики" 1977 г. В 77, купив эту книгу, в троллейбусе перелистывал и наткнулся на эту задачу. Понравилась. Запомнил. Сын ее же решал в 93 во втором туре мат. олимпиады в 10 классе. Если не найдете решение, объясню.

Совершенно верно. а из прошлого 25.06.1987 - совсем недавно!

Ок, спасибо, просто я не нашел сразу эту тему на форуме

Вроде стандартная школьная задачка, нет? Взять производную и найти максим.значение функции xcosx на отрезке [0...pi/2] и тупо сравнить его с pi^2/16...

Мешает нормально все сделать множитель x. То есть получается что-то вроде xtgx=1 или ctgx=x

Да, действительно. Чёрт, я уже все формулы забыл, думал, что это как-то легко решается.

Там вроде довольно хитро. В пи/4
х < cgtx, производная равна нулю (и максимум нашей функции) правее. Но в искомой точке xcox = cosx**2/sinx = 1/sinx-sin x. A значение этой функции в нужной точке очевидно меньше чем в пи/4, которое в свою очередь меньше данной величины.
P. S.
Нет, неверно. Очевидно как раз наоборот, что больше. Но как-то так должно получиться, т е как указание вероятно годится.

я так тоже сразу подумал, но в п/4 cos(x)=sin(x)=2^(-1/2), значит cos(x)^2/sin(x)=2^(-1/2) = 0.707107... > п^2/16. так что не получаеццо

решил, кстати. очень муторно. доказывается, что если положение максимума функции обозначить через z, для того, чтобы выполнялось f(z)>п^2/16, необходимо, чтобы sin(z)>п/4. А это может выполниться лишь при z>п/3, тогда как максимум очевидно лежит между п/4 и п/3.

Вроде решил, правда немного топорно.
Так как sinx - выпуклая функция, то на [0, п/4] выполняется неравенство sinx>=x*(4/п)*1/sqrt(2), а, следовательно, на [0, п/2] выполняется неравенство sin(x/2) >= x* (sqrt(2)/п). Возведем в квадрат, получим (1-cosx)/2>=2x^2/п^2, а отсюда, cosx<=1-(4x^2)/п^2. Получается, что xcosx<=x-4x^3/п^2. Максимум этого выражения достигается в x=п/sqrt(12), и равен 2п/3*sqrt(12). Если это число поделить на п^2/16, то получим 32/3п*sqrt(12)<32/3*3,14*3,4<1.

Фух, вроде написал все это. Выглядит жутковато, но , по-моему все правильно .