Теория вероятностей и комбинаторика

увядшие лавры международного естественнонаучного исторического альтернативизма не дают мне покоя
я решил заняццо на досуге национальной гуманитарной теорией вероятностей
мне как гуманитарию никогда не доводилось изучать эту теорию
но сталкиваться с ней, тем не менее, приходится

в связи с постижением азов покера у меня возник вопрос, на который я не нашел ответа в яндексе и который попробую сформулировать здесь
в покере пятая по старшинству комбинация (после рояля, стритфлеша, каре и фуллхауза), флеш, состоит из пяти карт одной масти
насколько я усвоил себе по отрывочным сведениям (если я неправ, прошу меня поправить), вероятность совпадения двух событий равна произведению вероятностей выпадения каждого из них по отдельности
в связи с этим я своим умом решил посчитать вероятность выпадения флеша при вскрытии пяти случайных карт в колоде из пятидесяти двух листов

насколько я понимаю, такая вероятность равна 12/51 * 11/50 * 10/49 * 9/48 = 0,00198
собственно, первый вопрос и состоит в том, верна ли избранная мной методика подсчета?

второй вопрос более сложный
он заключается в том, как подсчитать вероятность выпадения при аналогичных условиях (вскрытие пяти карт в колоде из 52 листов) стрита, то есть комбинации пяти карт любых мастей, следующих подряд друг за другом по старшинству (самый старший стрит - от туза до десятки включительно, самый младший - от пятерки до туза включительно)?

третий вопрос касается старшей покерной комбинации, флеш-рояля
это пять старших карт одной масти, от туза до десятки
очевидно, из всех возможных комбинаций лишь четыре (по количеству мастей) отвечают заданному условию
поэтому, насколько я понимаю, проще считать не вероятность выпадения флеш-рояля, а разделить четыре на общее число пятикарточных комбинаций в пятидесятидвухлистовой колоде
наверняка в комбинаторике есть формула для определения этого числа
любопытно было бы знать, чему оно равно?

1. "вероятность совпадения двух событий равна произведению вероятностей выпадения каждого из них по отдельности" - это неверно. Верно при условии их независимости(и есть её определение, формально говоря).
2. Число пятикарточных комбинаций есть очевидно
(52*51*50*49*48)/5! = (51*50*49*48*47)/(2*3*4*5) ~ 3 000 000
Знаменатель потому, что нам всё равно, в каком порядке вытащено.
Записывают обычно так:
52!/(5! * (52-5)!)

Проще так:

Всего комбинаций C_{52}^5=52*51*50*49*48/120=2598960
Флэш. Выбираем масть (4 способа) и в каждом выбираем 5 карт из 13. Получаем 4C_{13}^5=4*13*12*11*10*9/120=4*13*11*9=5148 вариантов. Вероятность 5148/2598960, то что у тебя и вышло.

Стрит. Сначала выберем "тип стрита", он определяется младшей картой. Она может быть от 2 до 10 (я считаю стритом 10,В,Д,К,Т, но не Т,2,3,4,5). 9 вариантов типа. В каждом типе каждая карта может быть выбрана одним из 4 способов (любой масти). Итого 9*4^5=9216, вероятность 9216/2598960=0.00354. Если добавить еще Т,2,3,4,5, то ответ будет не 9*4^5, а 10*4^5, вероятность 0.00394.

Флеш-рояль, 9 типов и 4 масти, 36 вариантов, вероятность 36//2598960=0.0000138.

Ну и общее замечание - формула произведения работает только для независимых событий. Но ты пользуешься не ей. У тебя комбинаторные идеи, число способов сделать выбор на очередном шаге не зависит от прошлых выборов (хотя сами способы могут различаться).

Влад.

Рассмотрение карточных игр и покера с точки зрения статистики и расчеты всевозможных покерных комбинаций есть в книге А.Реньи "Трилогия о математике", М., Мир, 1980 (статья "Азартные игры и теория вероятности.")
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&lang=Ru&blang=ru&page=Book&list=44&id=19889

Вот итоговая табличка оттуда:
флеш ройяль: 0.000014
покер: 0.000240
фул: 0.001385
цвет: 0.001967
стрит: 0.003532
тройка: 0.021055
две пары: 0.047373
одна пара: 0.422570
пустая фигура: 0.501864

Григорий,
доступно ли это формальное определение независимости событий моему гуманитарному разумению?
и где на него можно взглянуть?

это замечание, насколько я понимаю, совпадает с предыдущим замечанием Григория
я так мыслю, что число способов сделать выбор на очередном шаге зависит от прошлых выборов ДЛЯ СТРИТА, а для флеша - не зависит
или я неправ?

и еще
что восклицательный знак означает факториал - это я еще могу понять, но что означает C_{} - этого мы в школе не проходили, а если и проходили, то я давно забыл

Горм,
спасибо за ссылку
судя по приведенной вероятности флеша, либо я чего-то не учёл в своих расчетах, либо Реньи считает вероятность при каких-то других условиях (мож на 54 листах с джокерами?)

——-
доступно ли это формальное определение независимости событий моему гуманитарному разумению?
и где на него можно взглянуть?
——-
Так это оно и есть. Величины A и B независимы, если P(A=x,B=y)=P(A=x)*P(B=y).
Например, сумма и разность очков на двух кубиках зависимы, поскольку P(сумма=2, разность=1)=0, а по отдельности P(сумма=2)=1/36, P(разность=1)=10/36 и произведение не ноль.

Да, для стрита зависит. уже после первого шага. Если выбран король, то на следующем шаге можно брать только T,Д,В,10,9, а если дама - то Т,К,В,10,9,8, итого 24 варианта против 20.

C_n^k (читается "Цэ из n по k") — число способов выбрать k предметов из n различных предметов без учета порядка. Формула там приведена. Доказательство очень простое - первый предмет выбирается n способами, второй (n-1) и так далее, последний (n-k+1). Все надо перемножить. Каждый способ мы посчитали k! раз (именно столько есть перестановок чисел от 1 до k, каждой перестановке соответствует способ выбрать тот же самый набор предметов в другом порядке), надо поделить. Умножая числитель и знаменатель на (n-k)!, получим ту компактную формулу.

Влад.

Формальное Вам уже написали, а я так скажу.
Предположим, каждый пятый посетитель данной гостевой является фоменковцем, а каждый четвёртый - креационистом. Какова тогда будет вероятность того, что выбранный случайно посетитель гостевой окажется одновременно и фоменковцем и креационистом? По той формуле, что Вы привели было бы 1/4*1/5=1/20, но реально вероятность больше, так как эти два события не являются независимыми, и склонные к фоменковщине люди зачастую склонны и к прочим антинаучным теориям, в частности к креационизму

а если мы немного усложним задачу, и попробуем посчитать вероятность выпадения нужных нам пяти карт (пусть для простоты это будет флеш) не из пяти, а из семи вскрытых карт в 52-листовой колоде (то есть это стандартная ситуация для техасского холдема, когда две карты у нас на руках и пять раздают на стол)
правильно ли я мыслю, что для подсчета исходной (до вскрытия хотя бы одной карты) вероятности флеша в такой ситуации нужно лишь сдвинуть знаменатели на две единицы в меньшую сторону?
т.е. вероятность выпадения флеша на семи картах будет равна 12/49 * 11/48 * 10/47 * 9/46 = 0,002336

или, по каким-либо неучтённым мной причинам, увеличение вероятности будет более существенным?

Пух,
не умничай
"просто" я бы ни хрена не понял

Нет, там все хитрее. Во-первых, вероятность еще зависит от того, что у нас на руках, об этом мы поговорим позже.

Все комбинации разбиваются на такие типы:

1) 7 карт одной масти. Таких вариантов 4*C_13^7=6864

2) 6 карт одной масти, 1 карта другой. Таких вариантов 4*C_13^6*C_39^1=267696

3) 5 карт одной масти, 2 карты другой. Таких вариантов 4*C_13^5*C_39^2=3814668

Итого 4089228.

А всего вариантов выбрать 7 карт из 52 ровно C_52^7=133784560, вероятность примерно 0.0305

Твоя ошибка в том, что ты как бы выкинул первые две карты, а ведь их тоже можно было бы использовать во флэше. Или я неверно понял правила? Но тогда зачем вообще нужны карты на руках?

Обсуждать вопрос про зависимость от карт на руках?

Влад.

вообще-то да, согласен

а с зависимостью от карт на руках слишком много вариантов получается - смотря как они сочетаются с флопом
тут вообще чёрт ногу сломит

Разбираемся. Есть два принципиально разных случая.

1) У нас на руках две карты одной масти. Тогда либо остальные пять должны быть другой (таких вариантов 3*C_13^5) либо среди них не менее трех той же масти. Если ровно три - это C_11^3*C_39^2, если четыре - C_11^4*C_39^1, если пять - C_11^5. Итого
3861+122265+12870+462=139458. Всего же способов положить перед собой еще пять карт - C_50^5=2118760, вероятность 0.0658.

2) У нас на руках две карты разной масти. Тогда либо остальные пять одной масти, которой у нас нет (таких вариантов 2*C_13^5) либо там не менее 4 карт одной из наших мастей. Если ровно 4, то это 2*C_12^4*C_38^1, если пять, то 2*C_12^5. Итого 2574+37620+1584=41778, вероятность 0.0197.

Неудивительно, что она гораздо меньше. Получить три карты одной масти, которой чуть меньше в колоде, явно более вероятно, чем четыре карты одной масти.

Не обсчитался, вроде.

Влад.

Самое смешное, дети мои, что все эти ваши расчеты абсолютно бесполезны для практической игры
Там нужны совсем другие расчеты...

святой отец, мы в курсе, что в практической игре считается не вероятность, а матожидание
известно ли вам, что ожидание мата в ваш адрес - всегда положительное?

так что, прочтите вашу проповедь где-нибудь в другом месте
будьте уверены, там над вами тоже посмеются

Не вздумайте начать играть в покер на деньги в интернете, сын мой. Это - большой грех, да и зарплата доцента может не выдержать

падре, как только вздумаю - обязательно испрошу вашего благословения

http://bash.org.ru/quote/260138

О вероятности: однажды где-то упомянули о том, что в истории бриджа был единственный случай, когда на руках у игроков оказалось по 13 карт каждой из мастей... Что касается комбинаторики: если оставить в покое Луллия, то "Введение в комбинаторику" написал некто незабвенный Кирхер в 17 в. Вторую часть его труда с нетерпением ожидал один из его почитателей некто Лейбниц. Кто-нибудь может что-то сообщить по этому делу?

Как по мне схема ведения карточного счета плюс минус куда по проще, считать не так уж много но без усердных знаний тоже не дается. Покер считать не нужно там ведь работает шанс выпадение Аутов. Считай ауты и шансы вдруг к тебе повернутся стороной. И не забывай молится Богу Рандома)