Задачка с шариками

Дано: трёхмерное пространство, заполненное шарами. Алгоритм заполнения такой. Шары радиусом R расположены на плоскости ровными рядами, касаясь один другого, таким образом, что их центры находятся в узлах решётки с квадратной ячейкой (2*R x 2*R). Примем, что это - шары первого уровня. Сверху на нём расположен второй уровень решётки шаров, по структуре аналогичный первому, сдвинутый так, что шары структуры второго уровня покоятся точно в лунках структуры первого уровня. Аналогично сверху структуры второго уровня располагается решётка шаров третьего уровня, так что шары третьего уровня покоятся точно в лунках второго уровня, и т.д. (число уровней можно считать бесконечным). Таким образом, шары третьего, пятого и др. нечётных уровней расположены точно над шарами первого уровня (но не соприкасаются с ними), шары четвёртого, шестого и др. чётных уровней - точно над шарами второго уровня (но не соприкасаются с ними). Нижние и верхние точки шаров чётных уровней лежат на одной вертикали с центрами соответствующих лунок нечётных, и наоборот.

Задача: определить коэффициент заполнения этой структуры (отношение объёма шаров к полному объёму элементарной ячейки). Будет ли это плотнейшая упаковка шаров (из числа возможных)? Какого типа её элементарная ячейка?

Задача возникла буквально на днях в моей инженерной практике. Такие вещи известны наверное в математике и кристаллографии, но я столкнулся с подобным впервые, так что ответа не знаю. Хотя немного уже подумал, какие-то соображения у меня уже есть

В далеком детстве читал об этом в замечательной книжке Феликса Кривина (щас помню оттуда только кота Тангенса). Ни названия, ни решения не помню канешн.

Я, к сожалению, никогда не слышал о Феликсе Кривине. Возможно, что эта книга мне помогла бы

Это не самое плотное расположение шаров. Самое плотное это когда они по шестиугольной схеме расположены.
Я так думаю.

Из читанных мною математических детских книжек вспомнил лишь "Чёрную маску из Аль-Джебры". Автор, вроде, была какая-то женщина. Кота там тоже не помню. Был там какой-то стручок, шифры и треугольники Паскаля. Так что енто чтой-то не то

http://rrc.dgu.ru/res/mikel.altonika.ru/fermat/ch8.htm

А вот я думаю, всё-таки самое плотное. Интуитивно, да и мои вычисления на бумаге вроде бы подтверждают. Как правильно выделить ячейку? Интересно выслушать и другие мнения и сравнить. Кажется, Саша из Виннипега здесь большой математик?

Под ячейкой я понимаю такой минимальный структурный объём, относительно простого вида, размножая который, получается заданная пространственная конфигурация шаров. Видимо, в этом же смысле используется это понятие в кристаллографии (хотя у меня-то шары реальные, а не атомы). В такой ячейке могут содержаться как целые шары, так и части шаров (половинки, четвертинки, и т.д.). Тогда коэффициент заполнения будет равен отношению суммарного объёма шаров и их частей, содержащейся в этой ячейке, к полному объёму этой ячейки. В пределе это - объём шаров всей системы к полному объёму этой системы.

Штирлиц, всё это я уже видел. (Естественно, первым делом я поискал в интернете).
Ну и что? Каковы будут ваши выводы? К какому типу Вы отнесли бы предложенную структуру?

Похоже на гексагональную решётку, только перевёрнутую. Хотя я могу, конечно ошибаться...

Update: Таки ошибся : у Вас другая, лучшая структура. Но всё равно непонятно, почему она может быть лучше шестиугольной - у Вас в рамках одного уровня слишком много пустого места.

Насколько я понял из найденной мной ссылки, если Вы нашли заполнение, лучшее, чем то, что предложил Кеплер, то это примерно то же самое, как если бы Вы опровергли теорему Ферма

Нет конечно, но я получил для этой структуры заполнение округлённо 74,048%, т.е., именно максимальное, предложенное Кеплером. Оно, точно, должно быть равно (пи/корень(18)). Кстати, в других ссылках я видел, что якобы теорема-таки была всё же доказана, т.е. именно такое значение для плотнейшей пространственной решётки было получено уже в 90-е годы XX века (не то в 94-м, не то в 98-м). Т.е. спустя 300 с лишним лет после работы Кеплера!

Проблема в том, что ячейку кубическую гранецентрированную или гексагональную, (именно эти в теории и дают плотнейшее заполнение), я выделить не смог. Возможно, для этого у меня не хватает пространственного воображения. Я исходил совсем из другой ячейки. Так что вся надежда на вас, господа математики.

Я думаю, что не лучше, но и не хуже. Лунки между шаров у меня видимо вместительнее, но они плотно заполнены шарами вышележащего уровня.

Информация к размышлению:

http://maplematica.narod.ru/kvant7001.files/kvant700144maple.htm
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/114/278.htm
http://www.kokch.kts.ru/me/m12rus/c1.htm
http://www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001587/0001737G.htm

Вопрос в том, можно ли выделить в этой структуре ячейку, которая изображена по последней ссылке на рис.2 слева. Повторюсь, что я исходил из другой ячейки. (и не такой, и не гексагональной), тем не менее получил максимально возможное заполнение.

Сейчас попробовал посчитать это заполнение - и у меня получился тот же самый результат - pi/sqrt(18). Но может быть, мы с Вами сделали одну и ту же ошибку? Мне как-то интуитивно кажется, что такое заполнение оптимальным быть не может....

Эта задачка давно решена. Подробно описано у Гарднера в 'Математических головоломках и развлечениях'. Кеплер не упоминается вообще, есть масса иных фамилий.
Цитата: Вопрос о плотнейшей решетчатой упаковке шаров решен для всех пространств, размерность которых не превышает 8. В 3-мерном пространстве ответ на вопрос дают кубическая или гексагональная упаковки (или их гибрид). Плотность упаковки как раз и есть pi/18^0.5.

Как именно Вы рассчитали? В смысле, какую ячейку?

Я считал, что у нас есть куб размером nRхnRхnR, где n- стремится к бесконечности. Тогда плотность- это будет отношение объёма, которые занимают шары к общему объёму куба. По сути, нам нужно только подсчитать количество шаров. На одном уровне их n/2хn/2. А всего таких уровней будет, если я правильно подсчитал, n/sqrt(2). В итоге получаем объём всех шаров:
4/3piR^3*n^3/(sqrt(2)*4) или
pi*R^3*n^3/sqrt(18). Разделив это на объём куба как раз и получаем pi/sqrt(18).

Моя задачка -чисто практическая. Ответ не совсем по существу: читайте внимательно, выше, что спрашивается.

Но, вообще-то, цитата прелюбопытнейшая Задача о плотнейшей упаковке - в каком смысле решена и как именно давно? Насколько я смог судить (из интернетовских ссылок), практически для трехмерного случая решена давно, опровергнуть никто не мог, но в математике нужно строгое доказательство. Оно-то, если им верить, если и было вообще получено, то совсем недавно. Об этом смотрите - здесь:

http://www.kv.by/index1998391801.htm

См. также
http://ega-math.narod.ru/Nquant/Spheres.htm

Однако, пока что я не улавливаю ход мысли. n - это что такое?

Ну просто какое-то очень большое число. Длина стороны куба n*R

Если "просто какое-то число", почему Вы тогда решили, что на одном уровне именно n/2*n/2 шаров, и как подсчитали число уровней?

Ну как почему... Вы же сами говорите, что центры шаров находятся в узлах квадратной решётки с квадратной ячейкой 2R*2R - значит центров етих (n*R)^2/(2R*2R)=(n*n)/4. Вроде, элементарно. Вычислить количество уровней чуть-чуть сложнее. Я рассматривал тело, которое образуют центры четырёх шаров первого уровня и шар второго уровня над ними. Это пирамида, в основании которой квадрат со стороной 2R, и каждый из отрезков, соединяющий центры шаров первого уровня с центром шара второго уровня тоже равен 2R. Тогда легко с помощью теоремы пифагора найти высоту этой пирамиды - R*sqrt(2). следовательно, в кубе со стороной n*R поместится (n*R)/(R*sqrt(2)=n/sqrt(2) таких уровней.

Спасибо, теперь более чем понятно! Просто, Вы не строили "элементарную ячейку" (как это делал я), а вместо этого рассматривали достаточно большую.
Такой подход, разумеется, тоже вполне правилен. Ошибки здесь никакой не вижу. Поскольку и я получил тот же результат, теперь абсолютно уверен, что эта структура - плотнейшая. Единственно, что остаётся - это треклятый вопрос с ячейкой.

Рассмотрел ещё раз внимательно ссылку
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/114/278.htm
Очень похоже на то, что рассматриваемая структура как раз представлена там на рисунке 2, а ячейка её тогда - на рисунке 1. (Они там, похоже, специально расположили рисунки не в том порядке, чтобы запутать дело! ) То есть, она должна быть гранецентрированная кубическая. Изображение этой ячейки вот здесь
http://www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001587/0001737G.htm
слева.
Возможно, что так и есть. Но, чтобы её разглядеть в этой структуре, нужно незаурядное пространственное воображение, которое у меня слабо развито. (Вспоминается анекдот про Чапаева ). Я рассматривал в этой структуре другую элементарную ячейку - тетрагональную объёмноцентрированную, по классификации, приведённой здесь - тоже одна из ячеек "решётки Браве".
http://www.kokch.kts.ru/me/m12rus/c1.htm
Для данной структуры я получил её из объёмноцентрированной кубической, изображённой на рис.
http://www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001587/0001737G.htm
справа, сблизив между собой "восьмушки" (восьмые части) шаров до соприкосновения, в результате чего ячейка вытянулась вверх (и, очевидно, стала плотнее заполненной). Рассчитав оную, я получил правильный результат (~0.74048).
Я вот что не понимаю - чем же такая ячейка хуже, чем "заумная" кубическая гранецентрированная? По-моему, так по-любому лучше. Во-первых, она нагляднее. Во-вторых, проще. В такой ячейке (1/8)*8+1=2 шара, тогда как в кубической гранецентрированной - (1/8)*8+(1/2)*6=4 шара. В третьих, даёт нужный результат. Ну, непонятно, типа, почему такая ячейка нигде для плотнейшего случая не приводится.

Да-да, вот это один к одному, как у меня! Именно, непонятно, чем же такая ячейка м.б. неоптимальна