Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Московские рэперы "ШаГа" записали трек, посвященный гениальному ученому Григорию Перельману. История 43-летнего математика из Петербурга, доказавшего гипотезу Пуанкаре и отказавшегося от премии в 1 милллион долларов, настолько запала в душу музыкантам, что они решили, не откладывая в долгий ящик, сочинить песню-послание Григорию Яковлевичу.

- Эй, man! Эй, Перельман! Лови мой план - на твоем месте от "ляма" не отказался бы я, - поют парни в припеве своего трека "Перельман", предлагая ученому свой взгляд на проблему "брать или не брать".

- Я увидел репортаж о нем в новостях, - рассказывает участник проекте Миха Гам, - И эта история так потрясла меня, что текст появился сам собой.

Напомним, имя Григория Переломана появилось в новостных заголовках, когда математик из Санкт-Петербурга всколыхнул мировую общественность, заявив, что размышляет над тем, взять ли присужденную ему Математическим институтом Клэя Премию тысячелетия размером в один миллион долларов.

Четыре года назад Перельман уже потряс мир отказом от медали Филдса и не приехал в Испанию в день вручения, объяснив это тем, что главная награда для него - правильное доказательство теоремы. Но сейчас математический гений колеблется.

- Я еще не принял никакого решения, - сказал по телефону Перельман. - Если что-то решу, первым об этом узнает институт Клэя, который и учредил премию. Но пока ничего не решено.

http://www.lifenews.ru/news/19666

- Перельман - настоящий, вот что поразило нас в нем, - говорит Гам. - Уверен, деньги он не возьмет. Конечно, он странный человек, но история доказывает, что практически все гении немного не в себе.

Гипотезу Пуанкаре целый век не мог доказать ни один ученый. А в 2002 году Перельман выложил в Интернет свое доказательство этой задачи. Несколько лет математики с мировым именем проверяли верность решения и пришли к выводу, что оно правильное. Именно за это американский математический институт Клэя и решил присудить петербуржцу миллионную Премию тысячелетия.

На восточной украине к последним выборам отожгли, повесили рекламу от партии регионов: на бигборд налепили портрет Перельмана и подписали "А мне Янукович пенсию на 100 грн поднял, буду за него голосовать"

А как вам мои юморески-открытия?

- Не делайте из меня дурака.
- Да зачем же это делать? .

1. Теорема Коэна
или новый наряд короля для математиков.

Я сейчас то ли удручен собственным дебилизмом, то ли мне просто следует поле-
читься на Культпарковской. (Во Львове на ул. Культпарковской расположена общеиз-
вестная психбольница.) Мне кажется, что я окончательно то ли рехнулся, то ли решил из-
вестную континуум-гипотезу (проблему). Ответ таков: промежуточного множества не су-
ществует, и пошел Коэн … Доказательство до того легкое и очевидное (просто детское), что я его приведу прямо сейчас.
Коль Коэн доказал невозможность установления истинности континуум-гипотезы, то
это значит, что указать промежуточное множество невозможно, а следовательно его не
существует, ибо противоположное будет противоречить самой теореме Коэна. Вот и все доказательство. Одним предложением!
Теорема Коэна показала себя змеей, пожирающей самую себя с хвоста (вот уж поистине
бесплатный обед!). Если теорема Коэна верна, то она … не верна! Гордиевы узлы нужно
развязывать по-Македонски.
Сторонники мнимых множеств (в отличие от сторонников мнимых чисел) конечно мо-
гут себе заниматься онанизмом и получать удовольствие от создания «геометрии Лобачевского», презрев гнев беотийцев. Только вот геометрия Лобачевского - особь статья, а мнимые множества – особь статья. А впрочем…, впрочем… смеётся тот, кто смеётся последним. Не побоялся же Лобачевский знаете чего. Нашлись же ещё герои, поступившие с аксиомой Архимеда точно так же, как поступил Лобачевский с аксиомой Эвклида, и взрастившие плодоносящее древо.
Мне же удовольствие доставляет только женщина. Р. Клайн, сетующий в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» о том, что математики ушли от приклад-ных вопросов и занялись чистой математикой, прочитав все это, наверное, поддержал бы меня и руками и ногами. Но и на мой адрес, наверное, отпустил бы таки реплику, что, мол, и я согрешил онанизмом, коль заинтересовался континуум-гипотезой.

2. И здесь Сатана.

Вступление

Почему нельзя делить на 0? Здесь для ответа не подойдёт ни одно число. Ведь деление есть действие, обратное умножению. Пришлось бы результат деления проверять умножением, т.е. умножать (кандидата для ответа) на 0, и кроме 0, ни одного числа мы не получим. Т.е. ни одно число, кроме 0, нельзя делить на 0.
Иначе обстоит ситуация с делением 0 на 0. В качестве ответа здесь уже подходит любое число. Следовательно, мы имеем право написать, как 0/0 = 3, так и 0/0 = 5? Ведь здесь уже результаты деления подтверждаются проверкой умножением! Но тогда, коль
из а = в, и а = с следует в = с,
получим, что 3 = 5, и Сатана возрадуется. Ему очень хотелось бы на потеху уравнять все числа.
Значит, 0/0 = любое число не означает, что 0/0 = 3?
Создадим себе пару рецептов от радости Сатаны, связанных с числом 0.
1) Из 3х0 = 5х0 не следует, что 3 = 5, т.е. сокращать на 0 нельзя.
2) Из 0/3 = 0/5 не следует, что 3 = 5 (фактически разновидность сокращения на 0).
На этих исключительных свойствах нуля базируется множество софизмов, в которых сокращение на 0 присутствует в завуалированной форме.
Вспоминаю один хитрый софизм. Что-то будто бы, что все трапеции равнобочны. После дополнительных геометрических построений и чётких алгебраических преобразований одного полученного тождества следовало сокращение обеих частей на разность двух совершенно разных отрезков, скажем АВ – CD. Но поскольку все остальные преобразования были безукоризненны, то оставалось только заподозрить тождественное равенство длин этих отрезков. И это удалось доказать как теорему. Так и хочется прикинуться шлангом и воскликнуть: «А в софизмах из правильного следует неправильное!».

Мир чётных чисел.
Для начинающих любителей математики.

Представим себе, что мы живём в мире (множестве) чётных чисел. В этом мире мы можем складывать, вычитать, умножать, а делить не всегда. Как и в мире целых чисел. Некоторые числа также будут разлагаться на множители, а некоторые нет, будут простыми числами. Ряд простых чисел в этом мире будет иметь такой вид:
2 6 10 14 18 22 …,
а ряд составных такой:
4=2х2 8=2х4=2х2х2 12=2х6 …
Очень просто, не правда ли? Берём любое нечётное число, умножаем его на 2 и простое число в этом мире готово. И вообще, формула ряда простых чисел здесь имела бы простенький вид:
2(2n+1)
и великим математикам всех времён и народов не пришлось бы тысячелетиями ломать головы над формулой ряда простых чисел.
Стоп, мы забылись. А где в мире чётных чисел взять нечётные числа? Правильно, построить их. Ведь построили же мы мир дробных чисел, начав, в детстве, плясать от мира целых чисел. Гм, так то оно так, да не совсем оно просто.
Для начала вспомним, как мы пришли к дробным числам. Из того факта, что не всегда одно целое число делится на другое. Невозможно 7 буханок хлеба разделить целыми между тремя равноправными претендентами на них. Выход один – дробить по крайней мере одну из буханок. Может кто-то видит другой выход? Пусть меня научит, буду крайне благодарен.
Итак, аналогично получению 7/3 в мире целых чисел, в мире чётных чисел будем получать 12/4 = 6/2, 18/10 …
О-ба-на! Невооруженный глаз видит, что первое число это целое нечётное число, а второе – дробное. Да, но учёные-математики это как малые дети. Они придумывают правила игры и цацкаются в рамках этих правил. А невооружённый глаз это для них не правило игры, не авторитет. Он, невооружённый глаз, видите ли, на протяжении всей истории человечества многократно был посрамлён. Нет, не только Лобачевским в геометрии. Мне, например, невооружённый глаз в детстве толдонил, что Земля плоская. А что оказалось? Когда же меня вырвали из этого мрака невежества, то невооружённый глаз и по сей день говорит мне, что это Солнце вращается вокруг Земли, а не наоборот. Не исключено, что когда-нибудь появится какой-нибудь Эйнштейн и докажет Ньютонам, что все их доказательства вращения Земли вокруг Солнца неверны, базируются на иллюзиях вооружённого глаза и незаметных неточностей в формулах, которые в условиях астрономических масштабов привели к огромной ошибке и соответствующему неправильному выводу. И прав окажется Экклезиаст из Писания, что всё возвращается на круги своя. Впрочем, мне, как и Шерлоку Холмсу, безразлично кто вокруг кого вращается. Но, простите, меня очень уж увело от темы рассмотрения.
Итак, скепсис учёных-математиков по поводу невооружённого глаза имеет все основания. Но цель этого моего повествования не теоретическая, а описательная. Ведь адресуется оно начинающим, чтобы завести их, дать затравку для самостоятельного поиска ответов на возникающие вопросы. И ещё раз показать, что может вытворять Сатана в математике, точнейшей из всех наук.
Вернёмся к миру чётных чисел. Казалось бы, являясь частью мира всех целых чисел, изученного нами довольно досконально, он не может дать нам ничего нового, интересного. Но пару сюрпризов мы уже получили.
В мире целых чисел каждое число делится само на себя. И что получается в результате? Следовательно, для мира чётных чисел получаем противоположную формулировку. Отрицательный результат – тоже результат. Но противоположность этих формулировок ведёт к интереснейшим результатам. А именно. В арифметике целых чисел, грубо говоря, как бы мы не перемножали различные простые числа (с точностью до порядка множителей) мы никогда не получим двух одинаковых результатов. А в арифметике чётных чисел пожалуйста:
2х30 = 6х10 или 6х6 = 2х18
И всё это именно из-за противоположности двух упомянутых формулировок. Невероятно? Тогда для облегчения поиска пути от одного факта (наличия двух противоположных формулировок) к другому факту (различия в ответах на вопрос о разложении составного числа на простые множители в двух мирах или, если угодно, арифметиках) приведу ещё один сюрприз.
В обоих мирах действует распределительный закон? Сюрприз, формула
a + ab = a(1 + b)
работает только в мире целых чисел. Для мира чётных чисел её правая часть просто бессмысленна, ибо в нём отсутствует число 1. Левая часть просто не разлагается на множители. И это тоже, на этот раз уже очевидный, результат различия двух вышеупомянутых формулировок. А вот именно это тождество играет решающую роль в исследовании второго факта. Между прочим, второй факт носит громкое название «основной теоремы арифметики» и для мира целых чисел формулируется так: «Каждое натуральное (т. е. целое положительное, но не будем мелочиться) число, отличное от 1, может быть разложено в произведение простых множителей единственным способом, если отвлечься от порядка следования множителей». Переписывать доказательство этой теоремы я не собираюсь.
Нет, для меня всё-таки представляется забавным, что приведённое невзрачное равенство закрепощает простые числа в области целых чисел, т. е. заставляет их там подчиняться основной теореме (закону!) арифметики, и даёт им относительную волю в области чётных чисел. Невероятным представляется, что весь корень зла в этом равенстве или, что равносильно, в том, что делится число само на себя или нет.
Ночь позади, уже 10 утра, а я, перечитав всё в который раз опять, очень хочу спать. А о правилах игры, вооружающих глаз, чтобы отличить нужное нам нечётное целое число 12/4, от ненужного истинно дробного 18/10, дабы дать «Конституцию» и чётным числам, говорить нет сил. Куммер похожий вопрос о «Конституции» решает иначе, с помощью идеальных чисел (точнее, идеалов). У него это не прозрачно. У нас роль его идеальных чисел играли бы нечётные числа, и всё было бы прозрачно. Я его работы не читал. Читал лишь намёки. Но мне и намёков достаточно для начала. Его работа касается области (мира) мнимых, комплексных чисел. А здесь получается возможность обойтись без всяких комплексов.
Заглянул в свои записи книжки А.Я.Хинчина «Великая теорема Ферма» 1927 г. издания, где автор посвящает раздел и работам Куммера, и удивился. Неужели Сатана там справил бал? Ближе к телу, простите, делу. Цитирую:
«Если число х таково, что числа х и 1/х оба целые, то оно наз. единицею данной области; область рац. чисел содержит только две единицы: +1 и -1; алгебраическая область, вообще говоря, содержит бесконечное множество единиц; произведение и частное двух единиц есть всегда единица.
Делимость целых чисел данной области определяется совершенно так же, как для целых рац. чисел. Два числа, делящихся друг на друга, наз. ассоциированными; их отношение есть, конечно, единица области; условимся называть целое число простым или абсолютно простым, если оно в данной области не имеет других делителей, кроме единиц и ассоциированных чисел, и само не есть единица; каждое число имеет лишь конечное число простых делителей (если не различать ассоциированных чисел); каждое число разлагается на произведение простых множителей, но как мы уже знаем, вообще говоря, не единственным образом, даже при том условии, если мы не будем различать между собою ассоциированных чисел; в этом лежит главная трудность арифметической теории алгебраических чисел, и для преодоления её, для того, чтобы вернуть алгебраическим числам их однозначную разложимость, и создана Куммером та теория идеалов, к изложению основ которой мы сейчас переходим.»
Я вообще-то был не против считать количество единиц бесконечным, покуда все они бы лежали на единичной окружности комплексной плоскости и были различными корнями уравнения хn – 1 = 0, т.е. имели по крайней мере модули, равные 1. Но когда обнаружил, что их модули могут быть сколь угодно велики и сколь угодно малы даже на действительной числовой оси, то моё естество восстало против такого определения единицы. И далеко ходить не надо, всё очень просто.
Рассмотрим числа вида a+b , где а и b – целые рациональные числа. Очевидно, имеем кольцо, т.е. сумма, разность и произведение таких чисел есть такое же число.
Так как (x-a-b )(x-a+b ) = (x-a)2- 2b2 = x2-2ax+a2-2b2, т.е. a+b есть корень уравнения x2-2ax+(a2-2b2) = 0, то числа a+b есть целые алгебраические числа второй степени. К тому же действительные, т.е. лежат на действительной оси, что очень играет на руку прозрачности.
Рассмотрим = = -1+ . Итак, - целое число, и, значит, 1+ - единица, причём с модулем >2. Так же проверяется, что и -1+ единица, причём с модулем <1. Но тогда единицей является и (1+ )2 = 3+2 и (-1+ )2 и вообще (1+ )n и
(-1+ )n. Да это целая каша, а не арифметическая теория алгебраических чисел! Такой скепсис! Даже к тому, что «каждое число имеет лишь конечное число простых делителей». Да ведь только различных единиц различных модулей есть бесчисленное множество у действительных алгебраических чисел всего лишь второй степени и всего лишь вида а+b .

Прошу прощения, что при копировании попроподали квадратные корни и квадраты. Всё смазалось. Попробую приложить файлом.