Завести что ль Моркофкина ... :-)

Вот есть такая задачка. В круге даны 2 точки А и В. Найти на окружности все точки С такие, что луч, посланный из А в C отразится в В.
В своё время я потратил немало времени на эту задачу, придумал очень красивое рассуждение, квазирешающее её, но чисто так и не решил. Один интернетный знакомый(кстати, один из разработчиков Каиссы), тоже промучившись несколько дней, грозился подкинуть её Бернштейнам(Иосифу и Давиду), но так и не собрался. Так что только на Вас, Морковкин, надежда

 

Красиво. Ждем Моркофкина, но просим не спешить с публикацией или пользоваться скрытием решения. Хочется хоть немного порисовать будет сегодня на сон грядущий

Эх, Григорий, хорошую тему возродил! Боюсь только, что всеведущий в этой области Моркоффкин уже знает эту задачку

 

Разрешено одно отражение или луч имеет право отражаться сколько угодно раз?

 

Да оно по-любому неверное.

 

Возьмите точку А на окружности и попробуйте ваш метод. Мне кажется, что он не будет работать.

 

1 raz

 

Есть серьезные основания полагать, что это построение не может быть проведено при помощи циркуля и линейки. Что известно еще про эту задачу. Откуда она пришла?

 

Один товарищ сказал, что какому-то знакомому дали где-то на приёмных эзаменах(чтобы завалить как еврея) и спросил моё мнение. Я влип. Потратил несколько дней, честно написал уравнения(внушительно выглядящие), но так и не решил. Дело было лет 20 назад.
Крей, сколько решений даёт Ваш метод?

 

Взглянул на задачку - очень классно и просто на вид, но фиг решишь! Мне кажется, не надо писать уравнения. Методом приближений решается легко, но неточно

Я переформулировал для себя задачу так. Для двух точек в круге, надо найти точки на окружности, такие что дуги хорд, образуемых этой точкой и данными точками в круге, равны

 

Да. Решить, конечно, не смог Пошел ка я работать

 

А ведь дуги равны, когда хорды равны!!! О!

 

Там явно невозможно ограничиться кривыми второго порядка. Как только появляются более сложные объекты, простые геометрические построения невозможны. Вероятно, задача может быть решена в лоб выписыванием тригонометрических уравнений, (уравнения будут более высоких степеней, чем 2) но при этом она теряет свою притягательность. Могу предположить, что Ваше квазирешение использует инверсию, но на этом пути можно получить только нечто напоминающее решение, но не решение. Я еще посмотрю про эту задачу в Интернете.

 

Кажется решил!!!!

 

Я поторопился, а мне не дает шеф сосредоточиться, какой-то фигней надо заниматься. Блин! Блин! Блин!

 

Вот моё "решение": Пусть С - искомая точка. Тогда эллипс с фокусами А и В, проходящий черз С касателен к окружности в С. Т е начиная раздувать эллипсы начиная с отрезка АВ и следя за моментами касания, получим все искомые точки. Очевидно, это не решение , но "решение", ибо даёт возможность в воображении(или на экране монитора - если не полениться и запрограммировать, как сделал мой знакомый) проследить за поведением решений

 

Идею с эллипсами я тоже рассматривал.

 

Так. Предварительное впечатление оказалось верным. Этой проблеме 2000 лет. Доказательство методами теории групп о невозможности построения при помощи циркуля и линейки было выполнено недавно.
Разберусь с материалом и дам нужные ссылки.

 

Оба на! Вот это круто... Ладно, скромный "кмс" от математики удаляется

 

Я вот только не понял, чем мой метод последовательных приближений хуже эллипсов.

Я бы программировал так,

0. Ясно, что точек искомых две (доказательство очевидно)
1. Берем любую точку X1 на окружности и проводим из нее хорды через две данные AB
2. Пусть хорда [X1A) > [X1B) (нахождение длин хорд - секундное дело, продолжить их до окружности и найти длину) => Тогда дугу, стягиваемую [X1A] делим пополам и получаем X2.
3. То же самое, но либо делим пополам дугу X1X2 либо снова удаляемся к точке А

Процесс сходится к решению по теореме о стягивающихся отрезках

Вторую точку находим элементарно тем же методом, но начинаем с противоположной дуги.

Оценка точности метода - длина оставшейся дуги. Этого в эллипсах нету! Так то!

 

Но вообще-то с эллипсом очень остроумно! Григорий, респект.

 

Вообще то решений - 4 как видно из рассмотрения раздувающихся эллипсов - или взять точки симметрично относительно центра - тогда 2 решения - концы соответствующего диаметра, а ещё 2 - перпендикулярного диаметра

 

Да, четыре; Доказательство очевидно.

И все они находятся методом последовательных приближений. Немного усложним разбиение на дуги, и все...

 

Проблема: Alhazen's Problem
Оригинальные статьи я сходу в интернете не нашел.
Одна беллетристика, например
http://www.ox.ac.uk/gazette/1996-7/weekly/200397/news/story_5.htm
Называют не меньше чем последней проблемой Евклидовой геометрии.
См. также
http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html
На русском, по-видимому, ничего интересного нет.

 

А вот если точки лежат на окружности, кроме диаметрально противоположных, то решений два.

 

Или бесконечно много, если обе точки находятся в центре круга

 

А Морко двойной респект. Гроссмейстер, элитный! ЭЭ!

 

Статья с картинками
http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0312.pdf

 

А вообще, кончайте придуриваться. Придумали бы задачку какую-нибудь прикольную. И чтобы найти нигде нельзя было и чтобы решение было простое и красивое.

А эту бильярдину фиг решишь. Вот только приближенно (вообще-то это моя специальность как-бы, если не считать геофизику), а точно - нету и решения. Что доказано, по свидетельству Моркоффкина, с непогрешимой точностью

 

Картинки красивые! Как это они только рисуют такие! И эллипс Григория есть и мои приближения