Завести что ль Моркофкина ... :-)

Тема в разделе "Университет", создана пользователем Grigoriy, 17 май 2006.

  1. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Вот есть такая задачка. В круге даны 2 точки А и В. Найти на окружности все точки С такие, что луч, посланный из А в C отразится в В.
    В своё время я потратил немало времени на эту задачу, придумал очень красивое рассуждение, квазирешающее её, но чисто так и не решил. Один интернетный знакомый(кстати, один из разработчиков Каиссы), тоже промучившись несколько дней, грозился подкинуть её Бернштейнам(Иосифу и Давиду), но так и не собрался. Так что только на Вас, Морковкин, надежда :)
  2. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Красиво. Ждем Моркофкина, но просим не спешить с публикацией или пользоваться скрытием решения. Хочется хоть немного порисовать будет сегодня на сон грядущий :)

    Эх, Григорий, хорошую тему возродил! Боюсь только, что всеведущий в этой области Моркоффкин уже знает эту задачку :)
  3. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Рег.:
    10.04.2006
    Сообщения:
    3.679
    Симпатии:
    27
    Репутация:
    1
    Адрес:
    Кишинев
    Оффлайн
    это... а решать циркулем и линейкой, да?
  4. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Рег.:
    10.04.2006
    Сообщения:
    3.679
    Симпатии:
    27
    Репутация:
    1
    Адрес:
    Кишинев
    Оффлайн
    решение
  5. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Разрешено одно отражение или луч имеет право отражаться сколько угодно раз?
  6. Crest Админ, МГ

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    50.768
    Симпатии:
    11.576
    Репутация:
    466
    Адрес:
    Москва, Россия
    Оффлайн
    Krey, я думаю, здесь не нужно скрывать решение от других читателей.
    К тому же вы так его скрываете, что я при всем желании его прочесть не могу. А интересно!
  7. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Да оно по-любому неверное.
  8. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Рег.:
    10.04.2006
    Сообщения:
    3.679
    Симпатии:
    27
    Репутация:
    1
    Адрес:
    Кишинев
    Оффлайн
    неправда. могу доказать.
    с той поправкой, что луч отражается только один раз. если не один, то решение немного усложняется.
  9. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Возьмите точку А на окружности и попробуйте ваш метод. Мне кажется, что он не будет работать.
  10. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
  11. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Есть серьезные основания полагать, что это построение не может быть проведено при помощи циркуля и линейки. Что известно еще про эту задачу. Откуда она пришла?
  12. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Один товарищ сказал, что какому-то знакомому дали где-то на приёмных эзаменах(чтобы завалить как еврея) и спросил моё мнение. Я влип. Потратил несколько дней, честно написал уравнения(внушительно выглядящие), но так и не решил. Дело было лет 20 назад.
    Крей, сколько решений даёт Ваш метод?
  13. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Взглянул на задачку - очень классно и просто на вид, но фиг решишь! Мне кажется, не надо писать уравнения. Методом приближений решается легко, но неточно :)

    Я переформулировал для себя задачу так. Для двух точек в круге, надо найти точки на окружности, такие что дуги хорд, образуемых этой точкой и данными точками в круге, равны
  14. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Да. Решить, конечно, не смог :) Пошел ка я работать :)
  15. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    А ведь дуги равны, когда хорды равны!!! О!
  16. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Там явно невозможно ограничиться кривыми второго порядка. Как только появляются более сложные объекты, простые геометрические построения невозможны. Вероятно, задача может быть решена в лоб выписыванием тригонометрических уравнений, (уравнения будут более высоких степеней, чем 2) но при этом она теряет свою притягательность. Могу предположить, что Ваше квазирешение использует инверсию, но на этом пути можно получить только нечто напоминающее решение, но не решение. Я еще посмотрю про эту задачу в Интернете.
  17. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Кажется решил!!!!
  18. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Я поторопился, а мне не дает шеф сосредоточиться, какой-то фигней надо заниматься. Блин! Блин! Блин!
  19. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Вот моё "решение": Пусть С - искомая точка. Тогда эллипс с фокусами А и В, проходящий черз С касателен к окружности в С. Т е начиная раздувать эллипсы начиная с отрезка АВ и следя за моментами касания, получим все искомые точки. Очевидно, это не решение :), но "решение", ибо даёт возможность в воображении(или на экране монитора - если не полениться и запрограммировать, как сделал мой знакомый) проследить за поведением решений
  20. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Идею с эллипсами я тоже рассматривал.
  21. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Так. Предварительное впечатление оказалось верным. Этой проблеме 2000 лет. Доказательство методами теории групп о невозможности построения при помощи циркуля и линейки было выполнено недавно.
    Разберусь с материалом и дам нужные ссылки.
  22. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Оба на! Вот это круто... Ладно, скромный "кмс" от математики удаляется :)
  23. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Я вот только не понял, чем мой метод последовательных приближений хуже эллипсов.

    Я бы программировал так,

    0. Ясно, что точек искомых две (доказательство очевидно)
    1. Берем любую точку X1 на окружности и проводим из нее хорды через две данные AB
    2. Пусть хорда [X1A) > [X1B) (нахождение длин хорд - секундное дело, продолжить их до окружности и найти длину) => Тогда дугу, стягиваемую [X1A] делим пополам и получаем X2.
    3. То же самое, но либо делим пополам дугу X1X2 либо снова удаляемся к точке А

    Процесс сходится к решению по теореме о стягивающихся отрезках :)

    Вторую точку находим элементарно тем же методом, но начинаем с противоположной дуги.

    Оценка точности метода - длина оставшейся дуги. Этого в эллипсах нету! Так то!
  24. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Но вообще-то с эллипсом очень остроумно! Григорий, респект.
  25. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Вообще то решений - 4 :) как видно из рассмотрения раздувающихся эллипсов - или взять точки симметрично относительно центра - тогда 2 решения - концы соответствующего диаметра, а ещё 2 - перпендикулярного диаметра :)
  26. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Да, четыре; Доказательство очевидно. :lol:

    И все они находятся методом последовательных приближений. Немного усложним разбиение на дуги, и все...
  27. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Проблема: Alhazen's Problem
    Оригинальные статьи я сходу в интернете не нашел.
    Одна беллетристика, например
    http://www.ox.ac.uk/gazette/1996-7/weekly/200397/news/story_5.htm
    Называют не меньше чем последней проблемой Евклидовой геометрии.
    См. также
    http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html
    На русском, по-видимому, ничего интересного нет.
  28. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    А вот если точки лежат на окружности, кроме диаметрально противоположных, то решений два.
  29. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Онлайн
    Или бесконечно много, если обе точки находятся в центре круга :)
  30. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    А Морко двойной респект. Гроссмейстер, элитный! :) ЭЭ!
  31. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
  32. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    А вообще, кончайте придуриваться. Придумали бы задачку какую-нибудь прикольную. И чтобы найти нигде нельзя было и чтобы решение было простое и красивое.

    А эту бильярдину фиг решишь. Вот только приближенно (вообще-то это моя специальность как-бы, если не считать геофизику), а точно - нету и решения. Что доказано, по свидетельству Моркоффкина, с непогрешимой точностью :)
  33. atoku Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    04.02.2006
    Сообщения:
    2.949
    Симпатии:
    8
    Репутация:
    0
    Адрес:
    USA
    Оффлайн
    Картинки красивые! Как это они только рисуют такие! И эллипс Григория есть и мои приближения :)
  34. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Рег.:
    10.04.2006
    Сообщения:
    3.679
    Симпатии:
    27
    Репутация:
    1
    Адрес:
    Кишинев
    Оффлайн
    да, я заврался. вот что значит слишком переоценивать свои возможности и не вникать в суть задачи... а еще чертеж неправильно делать ;)
  35. krey Михаил Кройтор

    • Команда форума
    Рег.:
    10.04.2006
    Сообщения:
    3.679
    Симпатии:
    27
    Репутация:
    1
    Адрес:
    Кишинев
    Оффлайн
    тогда я дам задачку
    доказать, что вокруг любого выпуклого четырехугольника можно описать эллипс

Поделиться этой страницей