задача на периодичность

Тема в разделе "Университет", создана пользователем Ivrin, 10 фев 2006.

  1. TopicStarter Overlay

    Ivrin Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    06.02.2006
    Сообщения:
    387
    Симпатии:
    4
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Уважаемые академики!
    вот такая есть задачка, которая поставила меня в тупик и просит посторонней помощи: доказать, что действительное число 0,1248163264128... (и т.д. по степеням двойки) - НЕ периодическое.
    интересно было бы послушать, что вы можете предложить.
  2. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Онлайн
    Допустим, что оно периодическое. Можно всегда подобрать число n так, что цифры 2^n будут составлять этот один период. К этому утверждения я вернусь чуть позже, а пока посмотрим на его следствие. Чтобы Ваше число было периодическим надо чтобы 2^(n+1)/10 (целочисленное деление) было равно 2^n, что очевидно неверно. Теперь про выбор числа n. Пусть p - величина периода. Тогда подберем n так, чтобы в числе 2^n было p цифр. Сдвинуть период так, чтобы захватил в точности все цифры 2^n всегда можно. Ну и еще один нюанс. Периодичность не всегда начинается с первых цифр десятичной дроби. Но где-то же она начинается. Заменим p на k*p и целое к подберем так, чтобы (k*p)-значные степени двойки были уже в периодической части дроби. Ну вот и все.
  3. TopicStarter Overlay

    Ivrin Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    06.02.2006
    Сообщения:
    387
    Симпатии:
    4
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    угу, спасибо. я полчаса назад пришла именно к этому же решению)
  4. TopicStarter Overlay

    Ivrin Модератор

    • Команда форума
    Рег.:
    06.02.2006
    Сообщения:
    387
    Симпатии:
    4
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    что бы мы без вас, мастеров, делали... я-то пока что всего лишь учусь... но неуклонно стремлюсь к вершинам)
    люблю математику... но такие задачки как орешки щелкать не хватает мастерства(
  5. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Я бы изложил видимо примерно тоже(Саша, я не понял до конца Ваше) решение как мне кажется проше. Пусть есть период длины n. И периодичность начинается с некоторого к. Найдём степень двойки В = 2**l, записываемую n*m цифрами, и стояшую в записи после начала периода. Тогда обозначая А число, записываемое первыми n цифрами 2**l, имеем
    В = А*(1 + 10**n + ... + 10**(n*(m-1)))
    Но 2-ой сомножител' очевидно не есть степень двойки.
  6. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Онлайн
    Григорий, насколько я Вас понял, я то же самое решение изложил, но другими словами.

Поделиться этой страницей