4 треугольника

Тема в разделе "Университет", создана пользователем MS, 26 май 2006.

  1. TopicStarter Overlay

    MS Михаил Семионенков

    • Команда форума
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    6.178
    Симпатии:
    2.170
    Репутация:
    157
    Оффлайн
    Пока олимпийская пауза - разомнемся.

    В 4-х угольнике найти точку, при соединении которой отрезками с вершинами 4угольник разбивается на 4 равновеликих (равной площади) треугольника.

    Примечание - задача - не из гилььбертовых заморочек, и дядям (и тетям) с известной культурой вполне по силам. Но время решения - критично. Последите, сколько у вас уйдет.
  2. TopicStarter Overlay

    MS Михаил Семионенков

    • Команда форума
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    6.178
    Симпатии:
    2.170
    Репутация:
    157
    Оффлайн
    Атоку, я прокололся. Если поправишь, буду благодарен
  3. Мобуту спаситель нации

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    15.02.2006
    Сообщения:
    6.260
    Симпатии:
    1.813
    Репутация:
    95
    Адрес:
    Заир
    Оффлайн
    Он выпуклый, четырёхугольник этот?
  4. TopicStarter Overlay

    MS Михаил Семионенков

    • Команда форума
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    6.178
    Симпатии:
    2.170
    Репутация:
    157
    Оффлайн
    Забыл, уточнялось ли это. Будем считать, что нет. :)
  5. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    MS, а Вы уверены, что решение есть для всех выпуклых четырехугольников?
    Мне кажется только для тех у которых точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
    PS Есть еще узкий класс четырехугольников, где это требование не обязательно, но в общем случае решения нет.
  6. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Задача простая (и на мой вкус без изюминки - тупая элементарная техника), но решение не обязательно существует. Замечание Саши о диагоналях не понял.
  7. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
  8. TopicStarter Overlay

    MS Михаил Семионенков

    • Команда форума
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    6.178
    Симпатии:
    2.170
    Репутация:
    157
    Оффлайн
    Ну вот, пришел Саша и все... Да, в этом и был прикол. Ко мне придрались на вступительных экзаменах, поставили 4. Я на дыбы - аппелировать. Ну, меня и проверили на вшивость. При жесткой постановке вопроса - "найти" и очевидной решаемости для "хороших" 4уг., я за разумное время не смог допереть, что "точки, вообще говоря, нет". Дошло, что меня подкололи, только к вечеру, когда стресс спал. Пришлось сдавать все экзамены. Видимо, эксперимент с приемом по одному экзамену в институте не очень оценили, подрезали, хоть и не очень свирепо.
  9. Мобуту спаситель нации

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    15.02.2006
    Сообщения:
    6.260
    Симпатии:
    1.813
    Репутация:
    95
    Адрес:
    Заир
    Оффлайн
    Для шахматистов это смертельный тест. Это всё равно что дать задачку "как играть белым", а в ответе стоит "сдаться":)
  10. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    В четырехугольнике ABCD Возьмем точку O - средину диагонали BD.
    Тогда площади треугольников OAB и OAD равны, также площади треугольников OCB и OCD. Если все четыре площади равны, то все замечательно, но это довольно узкий класс четырехугольников. В общем случае они не равны и надо найти точку X, удовлетворяющую условию. Но тогда точка X должна лежать на прямой OA, чтобы площади треугольников XAB и XAD были равны, но также и на прямой OC. Значит, O - точка пересечения диагоналей AC и BD.
  11. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Напоминает, как меня Юрий Леонидович Ершов подловил на экзамене по логике. У меня в билете был вопрос по одной теореме из теории моделей, вот и дополнительный вопрос был построить модель с определенными свойствами. Я промучился, сколько позволили, но так и не смог. Как только закрыл за собой дверь на выходе с экзамена, сообразил, что теорема, которую я только что на экзамене доказывал, как раз и утверждала, что таких примеров нет и не может быть никогда.
  12. TopicStarter Overlay

    MS Михаил Семионенков

    • Команда форума
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    6.178
    Симпатии:
    2.170
    Репутация:
    157
    Оффлайн
    Мне казалось - что Ершовы только Петровичами бывают :) Вам, Саша, попроще было - у меня в частных случаях решения были. О, прямолинейность молодости ...
  13. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Я рассуждаю автоматически, не думая и не тратя времени вообще. Дан 4-угольник АБСD. Если точка О - искомая, то отношение её расстояний до АБ и БС обратно отношению этих сторон, т е она лежит на определённой прямой, проходящей через Б. Тоже относительно вершины D. Но эти прямые очевидно не обязаны пересекаться внутри 4-угольника.
  14. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    И раз уж зашла речь о гильбертовых пр-ах, расскажу - вдруг кто не знает, что в бесконечномерном гильбертовом пространстве можно построить кривую, всюду перпендикулярную самой себе - т е для любых её 3-ёх различных точек А, О, В АО перпендикулярно ОВ
  15. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Посмотрел в книжку и привожу аккуратную формулировку(хотя вроде и моя верна) - построить непрерывную кривую в бесконечномерном гильбертовом пр-ве, у которой любые 2 неперекрывающиеся хорды(т е имеющие самое большее одну точку пересечения) - перпендикулярны
  16. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Мне представляется, что это утверждение или неверно или неточно сформулировано.
  17. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    "Построить для любого бесконечномерного гильбертова пространства простую непрерывную кривую, у которой любые 2 неперекрывающиеся хорды ортогональны."
    "2 хорды, соответствующие отрезкам [а,в] и [с, d] называются неперекрывающимися, если отрезки [а,в] и [с, d] имеют самое большее 1 общий конец".
    На самом деле это лёгкая задача.
  18. miptus Заслуженный

    • Заслуженный
    • Участник
    Рег.:
    11.02.2006
    Сообщения:
    1.159
    Симпатии:
    78
    Репутация:
    5
    Оффлайн
    Честно говоря не понял что это значит. Любая точка лежит на определенной прямой проходящей через другую точку.
  19. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Это значит, что все такие точки лежат на одной прямой, проходящей через Б.
  20. morkoffkin Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.02.2006
    Сообщения:
    298
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Это разные формулировки. Причем вторая неполная. Доказательство того, что утверждение в первой формулировке неверно:
    Покажем, что не существует кривой такой, что любые две хорды, имеющие одну общую точку перпендикулярны.
    Любая кривая в гильбертовом пространстве может быть перенесена так, чтобы она проходила через точку 0. Пусть хорды VU и WU, имеющие общую точку U перпендикулярны, т.е.
    (V-U, W-U) = 0.
    (V-U, W-U) = (V, W) ? (V,U) ? (U,W) +(U,U) = (V-0, W-0) ? (V-0,U-0) ? (U-0,W-0) +(U,U)
    Как мы видим, все члены за исключением последнего есть векторные произведения различных хорд, имеющих одну общую точку и, следовательно, равны 0. Последний член ||U||**2 равен 0 только если U=0. То есть искомая кривая не содержит точек отличных от 0.

    А вообще-то не стоит здесь размещать такие задачи.
  21. Grigoriy Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.086
    Симпатии:
    22
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Вы конечно правы, но главное не затрагивается - можно построить кривую, всюду перпендикулярную самой себе
  22. Кенгуру Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    21.02.2006
    Сообщения:
    1.518
    Симпатии:
    36
    Репутация:
    2
    Адрес:
    Texas, USA
    Оффлайн
    И в самом деле легкая: возьмите однопараметрическое семейство функций, вида: f_t (x) = 1 (x <= t) (t \in [0,1]) и считайте их элементами пространства L^2 [0,1] квадратично-интегрируемых на [0,1] функций.

    Вот и все.... . Любые две хорды, т.е. разности (f_t - f_s), (f_u - f_t) (если только s < t < u) будут ортогональны друг другу.

Поделиться этой страницей