Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Для тех кому первая задачка показалась скучной (сложной) у меня есть другая задачка.

Задача. На плоскости даны две точки. Как используя только циркуль (раствор можно менять) построить точку посередине этих двух точек.

 

При наличии циркуля либо софта позволяющего рисовать окружности задача за час решается. Я решение знал раньше.

В первой задаче в дробную степень отрицательные числа возводим?

 

Хороший вопрос, а я проморгал

 

Действительно, нехорошо получилось. Дело в том, что первоначально было alpha=2. Исправил условие.

 

Во второй задаче есно не при каком.
Вытекает из теоремы о Трансцендентных числах © Лиувилль
Доказывать не имеет смысла - доказательство Элементарно.

добавлено.
Извиняюсь, в первой задаче. Которая на предел.
Предела не существует ни при каком Альфа.

 

Мне кажется, что ты торопишься. Я вроде умею доказывать отсутствие предела при alpha<2. Для alpha>2 у меня доказательства нет. Мне почему-то кажется, что и у тебя его нет. Если ты уверен, что можешь доказать отсутствие предела для alpha>2, то мне было бы очень интересно узнать основные пункты доказательства.

 

А можно поподробнее? $\sin(n)$, конечно, бывает сколь угодно близок к единице, но вдруг при этом $n$ столь велико, что результат все равно около нуля?

Мне как раз кажется, что либо этот предел есть всегда и равен нулю, либо в ответе должна фигурировать мера иррациональности $\pi$, про которую мы знаем, что она меньше примерно 7 и все.

Влад.

 

Интересно, а как переводится термин "мера иррациональности" на английский?
нашёл — Irrationality Measure
вот интересная статья
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

Интересная заметка на близкую тему
http://www.mccme.ru/ask/qa/pi_irr.html

 

Ё-моё, я тут второй день голову ломаю, теорию чисел начал вспоминать, а решения не известно, оказывается. Ну, Михаил, погоди...

 

Сейчас, попробую расписать доказательство.
В общих чертах - заменяем синус на косинус, потом под косинусом начинаем приближать дробью к 2*Пи
Прямо подставляем Теорему о трансцендентных, домножаем на знаменатель.

 

Сейчас распишу на бумаге, посмотрю что получится.

 

Если честно, то я знал заранее, что решение очень сложное (сам я решения не знал). Но я не думал, что решение науке пока неизвестно.

Задачка была расчитана на то, чтобы в процессе решения познакомится с необычными свойствами чисел. Решение не было самоцелью. Я вот познакомился с термином "Irrationality Measure". Было интересно.

Хотя вот NS горячится и обещает нам решение задачи. Боюсь, что у него ничего не получится.

NS, посмотри те ссылки, которые я привёл чуть выше прежде чем выкладывать доказательство.

 

Подставил, при замене синуса косинусом (понятно что это неправомочно, но пока такая прикидка), и замене неравенства в теореме равенством получаем под пределом
Cos(1/n^a)^(n^a)

 

Всё, понял свою ошибку, читаю по ссылкам

 

Наколол в общем. Ладно, я тоже что-нибудь подкину, из нерешённого Гильберта.

 

Сейчас исправлюсь. Вспомнилась мне забавная несложная задачка (должна понравиться e271)

Задача.
Найти предел последовательности

cos(2*pi*e*n!)
при n стремящемся к бесконечности

pi -число пи
e - основание натуральных логарифмов
n - целое число
n! - факториал числа n

 

Есть подозрение, что единица.

 

Есть доказательство что единица
{} - дробная часть числа.
рассмотрим {e*n!}
заметим что первые члены ряда при положительных целых n - целые.
Возмьмем только нецелые члены ряда.
получим ряд n!/(n+1)!+n!/(n+2)!+...+n!/(n+к)!
земеним члены ряда начиная со второго большими значениями
n!/(n+1)!+n!/((n+1)!*2)!+n!/((n+1)!*4)...
Геометрическая прогрессия
то есть при целых n больших нуля
{e*n!}<2/(n+1)

 

Кстати, постоянная Лиувилля (L) имеет меру иррациональности равную бесконечности (это несложно доказать)
http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html
http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
Отсюда сразу следует, что последовательность |sin(2*pi*n/L)|^(n^a)
расходится при любом a. Забавно.

Меня удивляет, что задача о построении середины отрезка одним циркулем не вызвала интереса. Неужели решение всем очевидно? На меня в своё время возможность такого построения произвела сильное впечатление.

 

Возможность такого построения вытекает из возможности любого построения
Любое построение выполняемое циркулем и линейкой выполняется одним циркулем.
Теорема такая есть, правда доказательства её я не видел...

 

Всё проще, циркуля нет.

 

Ты знаешь, но многие о существовании подобного утверждения и недогадываются.

Возвращаясь с числу пи. Рекомендую всем прочитать статью
Frits Beukers
A rational approach to pi
www.nieuwarchief.nl/serie5/deel01/dec2000/pdf/beukers.pdf
Я пока только мельком её проглядел, но сразу видно, что написана она очень здорово и понятно.
Прочитал. СУПЕР!
Также обратите внимание на ссылки, которые автор рекомендует (в конце статьи)

 

NS, Вы торопитесь Центр начерченного круга, например, найти нельзя.

 

Я точно не помню формулировку теоремы - возможно в ней есть какие-то условия.
Например - изначально даны только точки. Нет нарисованных фигур.
(естественно строим точки, так как прямую циркулем мы не построим )

 

Почему это?
Ставим три точки.
Находим середины отрезков.
строим по точке на перпендикулярах в серединах.
Находим пересечение прямых, заданных двумя точками каждая.

Все эти операции выполнимы.

Влад.

 

Прислать? Популярные лекции по математике, выпуск 29. У меня есть в djvu.

Влад.

 

Бейкерс вообще очень понятно пишет и говорит. В прошлом году я как раз его спецкурс слушал.
Страница со всеми его статьями есть на сайте Утрехтского университета.

Вдлд.

 

Да, если можно.
Мне Grigoriy высылал ссылку на страницу в интрнете где целая их подборка, но я как всегда эту ссылку потеял...

 

Тут вроде дано исчерпывающее описание построений одним циркулем
Geometric Construction with the Compass Alone
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml

Для тех кого забанили на гугле сообщаю, что страничка Frits Beukers расположена тут
http://www.math.uu.nl/people/beukers/

http://math.ru/lib/files/plm/v29.djvu

 

Делается на самом деле проще - строим на окружности равнобедренный треугольник
(берем две точки на окружности, и из одной из них радиусом - растояние между двумя этими точками рисуем окружность)
Находим сердину основания. Прямая проходящая через вершину треугольника и построенную точку это диаметр.

Построили два диаметра (заданием пары точек), нашли точку их пересечения.

 

Мне казалось, что кроме циркуля необходима еще и прямая. Впрочем, здесь я могу ошибаться.

 

Нет, прямая это и есть линейка
А при построении считаем, что построив две точки мы построили отрезок/луч/прямую.

 

Прямая это одна произвольная прямая, а линейка это возможность строить прямую по любой паре точек.

 

Да, прямая упрощает жизнь

 

Зачем гадать? Всю необходимую информацию о построении одним циркулем можно узнать по ссылкам, которые я приводил выше.

Насколько я понимаю, никакой дополнительной прямой не нужно.