Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Тема в разделе "Университет", создана пользователем Grigoriy, 10 дек 2006.

  1. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Для тех кому первая задачка показалась скучной (сложной) у меня есть другая задачка.

    Задача. На плоскости даны две точки. Как используя только циркуль (раствор можно менять) построить точку посередине этих двух точек.
  2. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    При наличии циркуля :) либо софта позволяющего рисовать окружности задача за час решается. Я решение знал раньше.

    В первой задаче в дробную степень отрицательные числа возводим?
  3. Quantrinas Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    13.02.2007
    Сообщения:
    3.371
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Хороший вопрос, а я проморгал :(
  4. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Действительно, нехорошо получилось. Дело в том, что первоначально было alpha=2. Исправил условие.
  5. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Во второй задаче есно не при каком.
    Вытекает из теоремы о Трансцендентных числах © Лиувилль
    Доказывать не имеет смысла - доказательство Элементарно.

    добавлено.
    Извиняюсь, в первой задаче. Которая на предел.
    Предела не существует ни при каком Альфа.
  6. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Мне кажется, что ты торопишься. Я вроде умею доказывать отсутствие предела при alpha<2. Для alpha>2 у меня доказательства нет. Мне почему-то кажется, что и у тебя его нет. Если ты уверен, что можешь доказать отсутствие предела для alpha>2, то мне было бы очень интересно узнать основные пункты доказательства.
  7. vlad239 Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    20.12.2006
    Сообщения:
    268
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    А можно поподробнее? $\sin(n)$, конечно, бывает сколь угодно близок к единице, но вдруг при этом $n$ столь велико, что результат все равно около нуля?

    Мне как раз кажется, что либо этот предел есть всегда и равен нулю, либо в ответе должна фигурировать мера иррациональности $\pi$, про которую мы знаем, что она меньше примерно 7 и все.

    Влад.
  8. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Интересно, а как переводится термин "мера иррациональности" на английский?
    нашёл — Irrationality Measure
    вот интересная статья
    http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

    Интересная заметка на близкую тему
    http://www.mccme.ru/ask/qa/pi_irr.html
  9. Quantrinas Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    13.02.2007
    Сообщения:
    3.371
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Ё-моё, я тут второй день голову ломаю, теорию чисел начал вспоминать, а решения не известно, оказывается. Ну, Михаил, погоди...
  10. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Сейчас, попробую расписать доказательство.
    В общих чертах - заменяем синус на косинус, потом под косинусом начинаем приближать дробью к 2*Пи
    Прямо подставляем Теорему о трансцендентных, домножаем на знаменатель.
  11. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Сейчас распишу на бумаге, посмотрю что получится.
  12. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Если честно, то я знал заранее, что решение очень сложное (сам я решения не знал). Но я не думал, что решение науке пока неизвестно.

    Задачка была расчитана на то, чтобы в процессе решения познакомится с необычными свойствами чисел. Решение не было самоцелью. Я вот познакомился с термином "Irrationality Measure". Было интересно.

    Хотя вот NS горячится и обещает нам решение задачи. Боюсь, что у него ничего не получится.

    NS, посмотри те ссылки, которые я привёл чуть выше прежде чем выкладывать доказательство.
  13. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Подставил, при замене синуса косинусом (понятно что это неправомочно, но пока такая прикидка), и замене неравенства в теореме равенством получаем под пределом
    Cos(1/n^a)^(n^a)
  14. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Всё, понял свою ошибку, читаю по ссылкам :)
  15. Quantrinas Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    13.02.2007
    Сообщения:
    3.371
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    :):):):):):)

    Наколол в общем. Ладно, я тоже что-нибудь подкину, из нерешённого Гильберта. :p
  16. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Сейчас исправлюсь. Вспомнилась мне забавная несложная задачка (должна понравиться e271)

    Задача.
    Найти предел последовательности

    cos(2*pi*e*n!)
    при n стремящемся к бесконечности

    pi -число пи
    e - основание натуральных логарифмов
    n - целое число
    n! - факториал числа n
  17. Quantrinas Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    13.02.2007
    Сообщения:
    3.371
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Есть подозрение, что единица.
  18. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Есть доказательство что единица :)
    {} - дробная часть числа.
    рассмотрим {e*n!}
    заметим что первые члены ряда при положительных целых n - целые.
    Возмьмем только нецелые члены ряда.
    получим ряд n!/(n+1)!+n!/(n+2)!+...+n!/(n+к)!
    земеним члены ряда начиная со второго большими значениями
    n!/(n+1)!+n!/((n+1)!*2)!+n!/((n+1)!*4)...
    Геометрическая прогрессия
    то есть при целых n больших нуля
    {e*n!}<2/(n+1)
  19. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Кстати, постоянная Лиувилля (L) имеет меру иррациональности равную бесконечности (это несложно доказать)
    http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html
    http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html
    Отсюда сразу следует, что последовательность |sin(2*pi*n/L)|^(n^a)
    расходится при любом a. Забавно.

    Меня удивляет, что задача о построении середины отрезка одним циркулем не вызвала интереса. Неужели решение всем очевидно? На меня в своё время возможность такого построения произвела сильное впечатление.
  20. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Возможность такого построения вытекает из возможности любого построения :)
    Любое построение выполняемое циркулем и линейкой выполняется одним циркулем.
    Теорема такая есть, правда доказательства её я не видел...
  21. Quantrinas Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    13.02.2007
    Сообщения:
    3.371
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Всё проще, циркуля нет. :)
  22. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Ты знаешь, но многие о существовании подобного утверждения и недогадываются.

    Возвращаясь с числу пи. Рекомендую всем прочитать статью
    Frits Beukers
    A rational approach to pi
    www.nieuwarchief.nl/serie5/deel01/dec2000/pdf/beukers.pdf
    Я пока только мельком её проглядел, но сразу видно, что написана она очень здорово и понятно.
    Прочитал. СУПЕР!
    Также обратите внимание на ссылки, которые автор рекомендует (в конце статьи)
  23. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    NS, Вы торопитесь :) Центр начерченного круга, например, найти нельзя.
  24. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Я точно не помню формулировку теоремы - возможно в ней есть какие-то условия.
    Например - изначально даны только точки. Нет нарисованных фигур.
    (естественно строим точки, так как прямую циркулем мы не построим :) )
  25. vlad239 Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    20.12.2006
    Сообщения:
    268
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Почему это?
    Ставим три точки.
    Находим середины отрезков.
    строим по точке на перпендикулярах в серединах.
    Находим пересечение прямых, заданных двумя точками каждая.

    Все эти операции выполнимы.

    Влад.
  26. vlad239 Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    20.12.2006
    Сообщения:
    268
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Прислать? Популярные лекции по математике, выпуск 29. У меня есть в djvu.

    Влад.
  27. vlad239 Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    20.12.2006
    Сообщения:
    268
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Бейкерс вообще очень понятно пишет и говорит. В прошлом году я как раз его спецкурс слушал.
    Страница со всеми его статьями есть на сайте Утрехтского университета.

    Вдлд.
  28. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Да, если можно.
    Мне Grigoriy высылал ссылку на страницу в интрнете где целая их подборка, но я как всегда эту ссылку потеял...
  29. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Тут вроде дано исчерпывающее описание построений одним циркулем
    Geometric Construction with the Compass Alone
    http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml

    Для тех кого забанили на гугле сообщаю, что страничка Frits Beukers расположена тут
    http://www.math.uu.nl/people/beukers/

    http://math.ru/lib/files/plm/v29.djvu
  30. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Делается на самом деле проще - строим на окружности равнобедренный треугольник
    (берем две точки на окружности, и из одной из них радиусом - растояние между двумя этими точками рисуем окружность)
    Находим сердину основания. Прямая проходящая через вершину треугольника и построенную точку это диаметр.

    Построили два диаметра (заданием пары точек), нашли точку их пересечения.
  31. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    Мне казалось, что кроме циркуля необходима еще и прямая. Впрочем, здесь я могу ошибаться.
  32. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Нет, прямая это и есть линейка :)
    А при построении считаем, что построив две точки мы построили отрезок/луч/прямую.
  33. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    Прямая это одна произвольная прямая, а линейка это возможность строить прямую по любой паре точек.
  34. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Да, прямая упрощает жизнь :)
  35. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Зачем гадать? Всю необходимую информацию о построении одним циркулем можно узнать по ссылкам, которые я приводил выше.

    Насколько я понимаю, никакой дополнительной прямой не нужно.

Поделиться этой страницей