Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Видимо, это предположение неверно, так как правильный ответ не такой. Однако, на пальцах легко посчитать мат. ожидание площади этого треугольника (в смысле, легко, если сообразить как ), и из этого уже получается ответ.

о да, эти события, вообще говоря, не независимы, поэтому перемножать нельзя. Однако, тем не менее, ответ 1/8 правилен

Можно использовать формулу площади сферического треугольника для этого (если радиус сферы = 1, то площадь треугольника = сумме углов - \pi). Но есть решение красивше, которое не требует знания этой формулы

Пожалуй, я теперь знаю как решить эту задачку полностью элементарным образом, без формулы полной вероятности...

ОК, озвучиваю решение. Будем считать что площадь сферы равна 1, пусть X, Y, Z - 3 первые точки, X', Y', Z' - точки, противоположные X, Y, Z (их антиподы), S - четвертая точка. Для начала, посчитаем мат. ожидание площади треугольника XYZ. Для этого рассмотрим 4 треугольника XYZ, XY'Z, XYZ', и XY'Z'. Ясно что их площади есть одинаково распределенные случайные величины, и вместе они образуют полусферу, поэтому мат. ожидание площади треугольника XYZ равно (1/2)/4=1/8.

Собственно, с помощью подобного рода рассуждения можно и сразу получить искомую вероятность. Рассмотрим 8 треугольников: XYZ, XY'Z, XYZ', XY'Z', X'YZ, X'Y'Z, X'YZ', и X'Y'Z'. Ясно, что они вместе образуют всю сферу, и поэтому с вероятностью 1 точка S принадлежит одному и только одному из этих треугольников. Но это значит, что с вероятностью 1 центр сферы принадлежит одному и только одному из тетраэдров SXYZ, SXY'Z, SXYZ', SXY'Z', SX'YZ, SX'Y'Z, SX'YZ', и SX'Y'Z' (например, если S лежит внутри треугольника X'YZ', то тогда центр сферы находится в тетраэдре SXY'Z, и т.д.). То есть, все вероятностное пространство разбивается на 8 равновероятных событий, и значит искомая вероятность равна 1/8.

Есть хорошо известная задача о глупой мухе и раздолбае-стрелочнике ,
который послал два локомотива по одноколейке навстречу друг другу .
Исходное расстояние 200 км , скорость каждого 50 км/час .
Муха со скоростью 75 км/час летает между ними ( от лобового стекла одного до лобового
стекла другого , разворот и обратно . Опять лобовое стекло , разворот и обратно ..... )
Какое расстояние успеет пролететь муха пока ее не расплющит от их столкновения ?
Когда знаменитому математику Джону фон Нейману предложили эту задачу ,
то он задумался лишь на мгновение .
— Как тебе удалось так быстро получить ответ — спросили его
— Я просто просуммировал ряд — ответил фон Нейман


А какой ответ получили вы и сколько потратили времени ?

Sokol

Решил за 20 сек.
Поезда столкнуться, проехав 100 км, т.е. через 2 часа.
Раз скорость у мухи 75км/час, то за 2 часа она успеет пролететь 150км.
Так? ))

A ... , так вы не математик . Вы - хитрый , хитрый физик .

Действительно , где вы видели такое феноменальное насекомое .
Плюньте , оно только жужжит и отвлекает . А до смерти осталось 2 часа .
( Исходное расстояние 200 км , скорость каждого локомотива 50 км/час .)

Если ваша селекционная муха и способна развивать с места в карьер
скорость 75 км/час , то какие бы кренделя она не выписывала ,

длина ее смертного пути равняется 2 часа x 75 км/час = 150 км .

Для скучающих: Дана последовательность: x_0=1. x_n=1+2/(3 (x_{n-1})^2).
Найти общую формулу члена последовательности. Меня вот спросили, не знаю что тут делать.

Ничего не понял. У Вас в правой части x(n) или x(n-1)?

x_{n-1}, предыдущий член последовательности. Иcправил.
Там дробь

Код:

             
          2
1+ —————————-
   3*x_{n-1}*x_{n-1}

Кстати, Вы нашли моментальные решения задачки о 4-ёх прямых? Я удивлён, что не знали. Геометрическое есть например в "Мат смеси"

Есть вроде журнал с таким названием и две книжки

PS решение загуглил сейчас — БЛИН, до чего же просто.

Ага. Конечно просто. А почему - профессиональное? Потому что профи - математик, инженер должен сразу подумать: "Чёрт, ничего непонятно. Надо график построить" А отсюда сразу решение
А вот физическое, тоже для профи видимо моментальное. Перейдём в систему координат, где 1-ый стоит. Тогда поскольку замена линейная, и в ней остальные двигаются с постоянными скоростями по прямым, проходящим через центр координат. Но раз 2-ой встречается с 3-им, и не в центре(нет тройных встреч), значит они двигаются по одной прямой . Тоже для 2-ого и 4-ого.Значит, 3-ий и 4-ый двигаются по той же прямой с разными скоростями(иначе при обратном переходе одинаковы векторно, а это не так), т е должны встретиться.
Я когда прочёл, полчаса обдумывал - как это из разных прямых получается одна

Ещё одна головоломка, даю в упрощенном виде.

Дано: (18^17-1)/17^2 число простое.
Найти наименьшее n>17, такое что 18^n - 1 делится на n^2.

И вот вам ещё, контрольная в голову:

В мешке N кубиков пронумерованных 1,...,N.
Вы выбираете k кубиков из мешка, X_1, ..., X_k.
Каково будет в среднем значение max X_i, 1<=i<=k ?

Это известная задачка, использовалась для оценки количества немецких танков.

http://en.wikipedia.org/wiki/German_tank_problem

Там же по ссылке можно и ответ прочитать (но не решение ).

По ссылке не ходил, но ответ должен быть приблизительно N*k/(k+1), если я не наврал в выкладках.

Приблизительно, но не совсем. Что будет при N=k=1?

Уговорили.
m = N - sum (x-1)^k (x=1 to N)/ N^k
для k=1 это N-N(N-1)/(2N) = (N+1)/2
для k=2 это N -N(N-1)(N-1/2)/(3NN)
Дальше лень вспоминать или выводить формулу суммирования k-тых степеней.

А вот эта задача очень понравилась. Любил подобными вещами в 10-м класе заниматься.
Первое впечатление было, что таких чисел нет. Потом подтвердил свое подозрение, что primitive roots (забыл русскую терминологию) существуют не всегда, поэтому в принципе решение возможно есть, но достаточно большое.

К моему стыду я эту задачку не решил. Моя жена (биолог!) минут за 15 нашла ответ. Доказать минимальность не смогла. Тут уже нужно привлекать вещи типа малой теоремы Ферма.
Ответ n=(18^17-1)/17. Такое n подходит. Потом ещё нужно минимальность доказывать. Зная что решение состоит из двух простых чисел, логично доказывать, что они оба в ответе должны быть.

Мы решали без подсказки("дано"), это вообще хардкор был.

Ага, я так же решал. Даже и не знаю, есть ли проще решение.

Я вообще-то хотел еще в выходные посидеть над этой задачей.
В любом случае, спасибо за то что помогли мне вспомнить, что я когда-то математиком был.
Да и за спасенные выходные спасибо

В соседней теме "ВУЗ-ы России. Вопросы образования." было затронуто одно весьма интересное кубическое уравнение (из моих школьных лет, кстати). Перенесу его сюда, т.к. здесь оно будет всё же более уместным.

Итак, 8*x^3 - 4*x^2 - 4*x + 1 = 0

Заранее скажу, его корни можно записать более, чем одним способом...

Именно так. После стандартных формул останутся лишь трёхэтажные крокодилы, которых невозможно упростить никакими конструктивными преобразованиями.

Ну вы уж опубликуйте все способы, какие знаете. Тогда и обсудим, как один сводится к другому, выходит ли это за рамки школьной программы и так далее.

По мне, так формулы Кардано достаточно. Ответ в меру громоздкий, но уж такая задача...