Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

тут последняя зачача
http://kasparovchess.crestbook.com/viewtopic.php?pid=78858#p78858

Сейчас основной вопрос состоит в том, насколько справедливо предположение, что сила трения пропорциональна скорости.

Уравнения верные.

Проинтегрируйте просто по времени оба уравнения и получите ответ!

Предлагаю своё решение.

Интегрируем y'' = f по времени от начального момента t1 до конечного t2, когда процесс закончится.

Получаем слева y'(t2)-y'(t1)=0 (скорости равны нулю и в начале, и в конце), а справа некий интеграл от f равный, таким образом, тоже нулю.

Теперь интегрируем так же x'' = -ax' - f , получаем слева 0, интеграл от f тоже 0, остаётся интеграл от x', который, таким образом, тоже 0.

Таким образом x(t2)-x(t1)=0, ч.т.д. т.е. лодка не сдвинулась.

P.S. Собственно это и есть Ваше x'+y' = - ax при большом времени.

Уважаемый Gremlinov, к сожалению, не могу принять Вашу критику. Вот что пишут, например, Бурбаки:
"наметим в общих чертах главные идеи, лежащие в основе теории отношений величин;
эта теория, построенная великим математиком Евдоксом (современником
и другом Платона), была прочно воспринята классической греческой мате-
математикой и известна нам по Элементам Евклида (II), где она мастерски изло-
изложена (в Книге V этих Элементов):
1) Слово и понятие число строго удерживаются за целыми натуральными
числами >1 A есть монада, а не число в собственном смысле слова), чем
исключаются не только наши иррациональные числа, но даже то, что мы назы-
называем рациональными числами, которые для греческих математиков класси-
классической эпохи были отношениями чисел. Это отнюдь не просто вопрос тер-
терминологии, поскольку слово «число» было связано у греков (как и в нашу
эпоху до недавнего прошлого) с идеей системы с двойным ааконом композиции (сложением и умножением). Отношения целых чисел понимались древне-
древнегреческими математиками как операторы, определенные на множество всех
целых чисел или его части (отношение plq есть оператор, относящий явслу^,
если оно кратно q, целое число р ??) и образующие мультипликативную
группу, но не систему с двойным законом композиции. В этом греческие
математики сознательно отмежевывались от «логистов» или профессиональ-
профессиональных вычислителей, которые, так же как их предшественники египтяне
и вавилоняне, не задумываясь рассматривали дроби или суммы целого
и дроби как числа. Впрочем, это сужение идеи числа было вызвано, по-види-
по-видимому, мотивами более философского, чем математического характера, и яви-
явилось результатом размышлений первых греческих философов о едином
и множественном, в системе идей которых единица не могла быть разделена
на части, не потеряв тем самым своего характера единицы *).
2) Теория величин строится аксиоматически и сразу для величин всех
родов (имеются намеки на предшествовавшие теории, в которых, по-види-
по-видимому, рассматривались отдельно длины, площади, объемы, времена
и т. д.). Величины одного и того же рода характеризуются тем, что они допус-
допускают сравнение (т. е. предполагаются определенными равенство, представ-
представляющее собой, собственно говоря, эквивалентность, и отношения > и <),
их можно складывать и вычитать (определено А + В, а также А ? В,
если, А >В) и они удовлетворяют так называемой «аксиоме Архимеда»
(теорема 1 § 2). Последняя с самого начала с полной ясностью воспринима-
воспринималась как ключ ко всему зданию (она действительно неизбежна при любой
аксиоматической характеризации вещественных чисел; см. гл. V, § 2). Имя
Архимеда присвоено этой аксиоме по яистой случайности; сам Архимед во
введении к своей «Квадратуре параболы» (III) подчеркивает, что эта аксиома
использовалась его предшественниками, что она играет существенную роль
в трудах Евдокса и что ее следствия не менее достоверны, чем определения
площадей и объемов, выполненные без ее помощи **).
В главе V (§ 2) мы увидим, как из этих аксиоматических основ с необхо-
необходимостью развертывается теория вещественных чисел. Отметим, что для
Евдокса величины заданного рода образуют систему с одним внутренним
законом композиции (сложением), но ято эта система обладает внешним
законом композиции, имеющим в качестве операторов отношения величин,
которые воспринимались как образующие коммутативную мультипликатив-
мультипликативную вруппу. Если А и А', равно как В и В',? величины одного и того же рода,
то отношения А к А' л В к В' по определению равны, если, каковы бы пи были
целые т и т', тА < т'А' влечет тВ < гп'В' и тА > т'А' влечет тВ >
> т'В'; аналогичными способами определяются неравенства между отно-
отношениями. То, что эти отношения образуют область операторов для величин
любого рода, равносильно (явно не выраженной, но многократно исполь-
использованной в изложении Евклида) аксиоме существования четвертой пропор-
пропорциональной: для любых данных отношения А/А' п величины В' существует
величина В того же рода, что и В', такая, что BIB' = А /А'. Так гениаль-
гениальная идея Евдокса позволила отождествить между собой области операторов,
определенные для величин любого рода *); аналогичным образом можно
отождествить множество отношений целых чисел (см. выше) с частью мно-
множества отношений величин, а именно с множеством рациональных отноше-
отношений (отношений соизмеримых величин). Однако, поскольку эти отношения
как операторы, применяемые к целым числам, определены (вообще говоря)
лишь на части множества всех целых чисел, оказалось необходимым развить
их теорию особо (Евклид, Книга VII).
Так построенная универсальная область операторов была тем самым
для греческих математиков эквивалентом того, чем для нас является множе-
множество всех вещественных чисел; при этом ясно, что со сложением величин
и умножением отношений величин они обладали эквивалентом того, чем
для нас является поле вещественных чисел, хотя и в гораздо менее удобной
форме**). С другой стороны, можно задаться вопросом, осознавались ли ими эти множества (множества величин заданного рода или множество отноше-
отношений величин) как полные в нашем смысле; иначе неясно, почему они допус-
допускали (не испытывая даже потребности сделать это аксиомой) существование
четвертой пропорциональной; более того, некоторые тексты, по-видимому,
ссылаются на идеи подобного рода; наконец, несомненно считалось очевид-
очевидным, что кривая, которая может быть описана непрерывным движением,
не может перейти с одной стороны прямой на другую, не пересекши эту
прямую,? принцип, который они испольвовали, например, в своих иссле-
исследованиях по удвоению куба (построение ^2~ посредством пересечения кри-
кривых) и который, по существу, равносилен свойству, о котором рдет речь;
между тем тексты, которыми мы располагаем, не позволяют узнать с полной
точностью их идеи на этот счет.
Таково состояние теории вещественных чисел в классическую эпоху
греческой математики. При всем восхищении, вызываемом построением
Евдокса, не оставляющим желать ничего лучшего в отношении строгости
и стройности, следует признать, что ему недоставало гибкости и оно было
мало подходящим для развития вычислительной техники и особенно алге-
алгебраического исчисления. Кроме того, оно могло казаться логически необхо-
необходимым только умам, влюбленным в строгость и искушенным в абстракции;
естественно поэтому, что на закате греческой математики мы видим посте-
постепенное возрождение «наивной» тонки зрения, сохранявшейся в традиции
логистов. Именно она доминирует у Диофанта (IV), бывшего в значительно
большей степени продолжателем этой традиции, чем официальной греческой
науки; воспроизводя для формы евклидово определение числа, он на самом
деле под словом «число» понимает неизвестное алгебраических задач, реше-
решение которых может быть как целым, так и дробным или даже иррациональ-
иррациональным числом *). Хотя это изменение отношения к понятию числа связано
с одним из самых важных достижений в истории математики, а именно раз-
развитием алгебры, само по себе оно, конечно, представляло не прогресс,
а скорее шаг назад. "
Извините, но считаю мнение А. Вейля(который по-видимому писал этот текст) более компетентным, чем Ваше.

С небольшим опозданием задаю очередной интересный
Вопрос.

Может ли дифракционная картина какого-либо вещества обладать симметрией пятого порядка в расположении острых дифракционных максимумов? Почему?

Вопрос можно сформулировать также вот таким эквивалентным образом. Может ли вещество с дальним порядком обладать симметрией пятого порядка? Почему?

Вопрос непростой. Ниже даю ссылки на статьи в интернете, которые немного поясняют понятия "ось симметрии", "дифракция, "дальний порядок".

Тут немного про симметрию
http://www.chemnet.ru/rus/teaching/djadchenko/1.html

Тут немного про дифракцию в кристаллах
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/029/534.htm

Обратите внимание, что я неспроста выделил слова "острых" и "дальним порядком". Дифракционная картина от пятиугольной молекулы будет обладать осью симметрии пятого порядка, но максимумы на такой картине будут размыты. Острые пики появляются только при наличии дальнего порядка. Вот некоторые ссылки на тему "дальний порядок"
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%BA
http://www.cultinfo.ru/fulltext/1/001/008/018/798.htm
http://www.astronet.ru/db/msg/1177631

Если что-то непонятно в формулировке вопроса, то смело задавайте вопросы.

"Может ли дифракционная картина какого-либо вещества обладать симметрией пятого порядка в расположении острых дифракционных максимумов? Почему?"

Ответ на этот современный вопрос можно получить рассматривая средневековые мечети

Это Вы о том, что Дедекинд позаимствовал (фактически украл) свою теорию действительных чисел у Евдокса, который про действительные числа не знал абсолютно ничего?

Ваше право - нести любую чушь, но не приписывайте себе близких отношений с Андре Вейлем. Математики вы не знаете даже на школьном уровне, это уже понятно.

Уважаемый т. Gremlinov, я с Вами полностью согласен - моя компетенция невелика, Евклида и Архимеда я не читал, и транслирую в данном случае мнения авторитетов - Бурбаки и Литтлвуда. К сожалению, текст Литтлвуда (Мат смесь), лежащий у меня на компе, не поддерживает функцию Copy-Paste, а набивать мне лениво. Загляните сами.
Также не помню(возможно по забывчивости), где именно я приписываю себе близкие отношения с Вейлем. Замечу также, что если даже он и не писал цитированный выше текст, то безусловно взял на себя за него ответственность - как член группы Бурбаки. Остаюсь преисполнный глубокого уважения преданный Вам Григорий
P.S. Разрешите также обратить Ваше внимание на небольшой логический прокол: претензии на близкие отношения с Андре Вейлем никак не влекут претензий на компетентность в математике и её истории.

Мне кажется, что не всё так однозначно. Вот например у подводных лодок нос вроде совсем не острый.

Может быть различие связано со стилем гребли? Дальше рассуждать не могу, так как понятия не имею как гребут на академичке.

PS Наклёвывается математическая задачка.

Будучи обременен теорией, я бы рассуждал так

1) Вспомнил бы о парадоксе Даламбера - идеальная жидкость не оказывает сопротивления шару, движущемуся в ней.
http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_paradox
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/311/notes/fluids1/fluids11/node19.html

2) Из 1) следует, что сопротивление движению в идеальной жидкости связано исключительно с явлением отрыва. Поэтому стараются сделать так, чтобы отрыв происходил как можно дальше и турбулентный след был как можно более узким. Такому условию удовлетворяем именно тупоносая форма (кашалот, подводная лодка) плавно заостряющаяся к концу (Ландафшиц, том 6, параграф 46).

Кстати, [q]за кормой создается область пониженного давления[/q] именно благодаря явлению отрыва. При потенциальном обтекании за кормой была бы область повышенного давления.

3) Надводные суда по каким-то неведомым мне причинам не следуют пункту 2). Есть видимо существенное различие между движением полузатопленного и полностью погруженного тела. Полузатопленные тела при движении активно излучают гравитационные волны.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B_%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%B5
Может остроносая форма способствуем меньшим потерям на излучение волн?

Сила мышц пропорциональна площади их поперечного сечения, т.е. зависит квадратично от линейного размера.

А я и есть биолог .

Понял, что неясно сформулировал: сила мышц будет зависеть квадратично от размера для неких идеальных "подобных" животных. А животные на самом деле не "подобные" и "пытаются" увеличивать силу мышц (а значит, и их поперечное сечение) кубически. Т.е. реально показатель степени должен быть между 2 и 3.
Сейчас поищу ссылочку.

Так, у наземных млекопитающих этот показатель - 2.4.
http://jeb.biologists.org/cgi/reprint/208/9/1665

Для водных сейчас поищем...

Что-то не могу найти. Зато нашел статью, где обсуждается влияние обтекаемости и типа плавания на энергозатраты (для млекопитающих).
http://darwin.wcupa.edu/~biology/fish/pubs/pdf/1993AJZhydrodynamicDesign.pdf

Задача про переход рыбака с одного край лодки на другой при нулевом трении решается уравнением на постоянство положения центра масс, сдвиг лодки противонаправлен перемещению рыбака и равен m*L/(M+m). Если трение ненулевое и переход происходит за конечное время, то сдвиг лодки в общем случае отличается от нуля, что совершенно ясно из рассмотрения предела нулевого трения. Если сдвиг равен нулю для любого движения рыбака по лодке и любого коэффициента трения К, то мы имеем особенность сдвига как функции К при К=0, что физически совершенно абсурдно, очевидно, что сдвиг должен быть непрерывной функцией К. Другое дело, что нулевой сдвиг не исключен уравнениями движения, и, видимо, иногда можно подобрать скорость перемещения рыбака по лодке так, чтобы сдвиг лодки после окончания движения рыбака был равен нулю. Если перемещение рыбака происходит за бесконечное время, то мне не вполне ясно, что тогда происходит. Если предел скорости лодки (и рыбака) на бесконечности стремится к конечному значению, то работа силы трения будет бесконечна. В силу сохранения энергии, эту работу должен совершить рыбак, но трудно себе представить, что такое безобидное действие, как бесконечно медленный переход с одного края лодки на другой потребует бесконечной работы, поэтому скорости рыбака и лодки на бесконечности стремятся к нулю, хотя я это и не могу пока строго доказать. Причем, здесь будут серьезные сложности с двойным пределом: пределы К стремится к нулю и Т стремится к бесконечности нельзя переставлять, а значит двойного предела не существует.

Статья интересная. Пока я бы обратил внимание на рисунок 4. Вы только посмотрите, какие огромные числа Рейнольдса!

Интересно, а чему равна характерная скорость при которой меняется форма хорошо обтекаемого тела? Как её оценить через параметры жидкости?

А ты полюбопытствуй. Убедись, что из доступных величин составить разумное число размерности "скорость" не так-то просто (невозможно?)

Кстати, советую взглянуть сюда

http://www.science.sakhalin.ru/Ship/MicHist.html
обратите внимание на важность волнового сопротивления, о котором я кричу уже не первый раз.

На этом сайте
http://www.science.sakhalin.ru
есть ещё много интересных материалов.

Кстати, ответ ноль для сдвига лодки у большинства остается со школьных времен и первоначального знакомства и производными и интегралами.В самом деле, решение кажется довльно простым: импульс системы после окончания движения рыбака порождается силой трения и дается интегралом -kv(t) по времени, то есть (M+m)*V=-K*S, здесь S - искомое смещение, а V - скорость лодки и рыбака после его перемещения. И в этом месте делается ошибочное предположение о равенстве V нулю. Повторюсь, достаточно лишь немного использовать физичекую интуицию, чтобы понять ложность этого предположения в общем случае - сила сопротивления воздуха при небольших скоростях тоже пропорциональная скорости и согласно этому предположению, также должна сделать первоначальный сдвиг m*L/(M+m) равным нулю, что представляется полным абсурдом. В общем случае, после окончания движения рыбака (за конечное время), лодка будет неторопливо двигаться в сторону, противопложную его смещению и постепенно замедляться под действием силы трения о воду.

PS. Забавный ответ получается для случая, когда движение рыбака по лодке экспоненциальное : z(t)=S*exp(-u*t). Тогда смещение лодки при t стремящемся к бесконечности будет равно S(K)=m*S*u/((M+m)*u+K) *exp(-K*t/(M+m)). Если брать сначала предел t=infinity, то смещение будет, как и ожидалось, равно нулю, а если сначала брать предел K=0, то смещение будет равно ответу для нулевого трения. Все получилось как я и ожидал: повторные пределы различны и, следовательно, двойного предела не существует. Очень похоже на то, что и для произвольного движения рыбака за бесконечное время ответ будет тот же: смещение лодки равно нулю. Итак, полный ответ такой: если перемещение рыбака происходит за конечное время, то смещение лодки неизвестно и зависит от вида движения рыбака по лодке, если перемещение происходит за бесконечное время, то смещение лодки при сколь угодно малом, но отличном от нуля трении, будет равно нулю.

Согласен.

*

Задачка. Игральную кость бросают и складывают выпавшие очки. Какая вероятность того, что подобная сумма будет равна N, если N стремится к бесконечности?

О блин, я уже стер свой пост.
Сам понял что центр может сдвинуться.

Имеется в виду что в процессе накопления суммы пройдем через N?

1/3.5