Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

А вы в этом твердо уверены?

Вы меня за круглого дурака держите?

Основная теорема. Все задачи на построение , разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем.
Доказательство. Смотри ссылки выше.

Что непонятно в формулировке теоремы? Обратите внимание, что транспортиры, нивелиры, рулетки и подзорные трубы не упоминаются в теореме.

Большое спасибо за исчерпывающий ответ.

Это я, оказывается поторопился и крупно наврал. Циркулем, действительно, всё можхо. Но можно и одной линейкой, если есть ещё окружность и задан её центр. А вот найти центр одной линейкой нельзя.

Кстати, я вспомнил любопытную физическую задачку (уровня 3 курса физ. вуза). К вечеру постараюсь сформулировать так, чтобы даже знатоки не сразу догадались. Надеюсь, что ответ для некоторых будет неожиданным.

Мультипольное разложение все помнят? Дипольный, квадрупольный, октупольный момент... Вот и хорошо.

Задача. В тороидальной катушке ток зависит от времени. Какова будет интенсивность излучения? Почему?

Для простоты предполагается, что
(характерная частота изменения тока)*(размер катушки)/(скорость света) << 1



Геометрию задачи (но не саму задачу) можно подглядеть тут
http://en.edu.ru/share/file/2005/04/23/7470/physics/content/chapter4/section/paragraph17/theory.html

0 - это я с дуру ляпнул.

.

Ну ладно, уговорил.
Строго говоря, только мультиполей нет, но тороидальные моменты наверное излучают.

P.S. Вычислил, излучение соответствует электродипольному.

P.S.2 Нашёл статью про анаполь. Написал Апенко.

Нелепые сказки. Поскольку трудов Евдокса не существует в природе, традиционные историки приписывают ему всякий вздор. Сведения о его математических достижениях дошли в пересказе Архимеда. И никаких сечений Дедекинда там, разумеется, нет.

Ещё кучка нелепостей. Понятие оператора возникло только в 20 веке.

Утверждение о том, что вещественное число - класс рациональных, ошибочно и не может принадлежать Бурбакам, прекрасно знавшим математику.

Согласно Бурбаки, вещественное числа - это отношение эквивалентности на множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Две последовательности эквивалентны, если различаются на бесконечно малую.

Архимедовость не имеет отношения к непрерывности, хотя бы потому, что ею обладают целые числа.

Приведите цитаты.

Понятие интегральной суммы изобретено в 19 веке Риманом. Даже позднее определения предела, который впервые сформулировал Коши.

Эти рассуждения могли привести к построению теории интегрирования, но с 17 века прошло более 200 лет, прежде чем это произошло.

До создания интегралов в 17 веке, можно было считать объёмы пирамид из не очень тривиального геометрического соображения: куб разбивается на 6 конгруэнтных тетраэдров высотой 1 и основанием 1/2.

Я предполагаю, что вы "творчески" модернизировали задачу, где вместо sin(n) был cos(1/n)? В той задаче имеется конечное решение при альфа>=2. А в вашей, по-видимому, предела не существует при любом альфа. Чтобы проверить - не будет ли он равен нулю при больших альфа, надо посмотреть на теорию рациональных приближений Пи.

Это известная, но нетривиальная задача. Стандартный метод - сначала удвоить отрезок, а затем взять инверсию нового конца относительно середины (подробности у Куранта и Роббинса).

Вы математик, Вам и карты в руки.

Р. Курант, Г. Роббинс "Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов"

"Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и её структурой"

Глава III, часть 2, п. 4 Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью одного циркуля.

Спокойно. Математик тут я.

Ясно, что мешать существованию нулевого предела может только наличие подпоследовательности, ограниченной снизу. Представим $n$ как $n=\pi/2+\pi k\pm \eps$, тогда $\abs{\sin n}=\cos\eps$. На нашей подпоследовательности $\eps$ стремится к нулю (иначе косинус отделен от единицы и возрастающие степени его обнулят). Берем логарифм (он должен получиться отделенным от $-\infty$):

$ n^{\alpha}\ln(\cos\eps)$. Заменяем логарифм косинуса на эквивалентную:

$n^{\alpha}\eps^2/2$ должно быть отделено от $+\infty$, то есть ограничено сверху. Пусть $\eps$ положительно. То же самое верно и про $n^{\alpha/2}\eps$ .

C другой стороны, что такое $\eps$? $\eps=\abs{\pi(1/2+k)-n}, откуда $\eps/(1/2+k)=\abs{\pi-2n/(1+2k)}$.

Поскольку $n$ и $1/2+k$ равны по порядку величины, это выражение ограничено $с\eps/n$. Но мы знаем, что $\pi$ приближается с точностью не выше $c_1/n^{\beta}$, где $\beta$ - мера иррациональности $\pi$. Значит, $\eps>>n^{-\beta+1}$ и

$n^{\alpha/2}\eps>>n^{\alpha/2-\betha+1}$. Если показатель степени положителен, то есть стремление к бесконечности и подпоследовательности не существует. Если отрицателен - существует (поскольку подпоследовательность, дающая наилучшие приближения, оптимальна), даже с частичным пределом 1. Если равен нулю - существует, но частичный предел единицу гарантировать не сможем.

Итак, при $\alpha>2\beta-2$ предел равен 0, при прочих $\alpha$ предела нет.

Как я и говорил, ответ возможно будет зависеть от меры иррациональности $\pi$, которую мы не знаем. Известно, что $\beta<7$. На самом деле не 7, а какой-то хитрой константы, но неважно.

Все понимают, что на самом деле $\beta=2$, только никто пока не доказал.

Влад.

Спасибо, я пытался так же: $\eps$, логарифм. Но с $\beta$ круто, я не знал, но подозревал.

Это ты про что? Про то, что оно равно двум? Просто оно у всех кроме множества меры нуль равно двум (теорема Бореля, доказывается в две строчки), но проверка каждого конкретного числа мягко говоря нетривиальна. Это нетрудно для $e$ (наилучшие приближения вообще-то обеспечиваются неполными частными в представлении цепной дробью, а для $e$ эта дробь устроена просто), а уже для алгебраических - это теорема Рота, извиняюсь.

Влад.

На этом чтение вашего "решения" можно и закончить. Ложная предпосылка обесценила все дальнейшие труды.

Ведь любая сходящаяся последовательность ограничена, в том числе и снизу. И тем самым, ограниченность снизу не может помешать существованию предела.

Нет, про то, что $/pi$ вообще можно так оценивать, я не математик и эти теоремы не помню.

Да, Ты очень умный. Разумеется, имелось в виду, ограниченной чем-то, большим нуля. Остальные это как-то поняли, странно, да?

Не читайте всяких глупостей. Сходите лучше почитайте "Колобка".

Влад.

То, что $\pi$ (как и любое число) можно так оценивать - понятно (берем все $\gamma$, для которых существует бесконечно много приближений такой точности и берем супремум по этим $\gamma$). Нетривиально то, что супремум оказывается не бесконечностью. А пока мы не знаем точного значения - это лишь сведение задачи к другой задаче с неизвестным ответом.

Влад.

Это верно. Хотя, строго говоря, тороидные моменты также являются мультиполями.

Ничего не понял. Все зарядовые мультиполи равны нулю. Ты же сам это сказал строчкой выше. Ааа... Ты наверное имеешь ввиду тороидный дипольный момент.

Исчерпывающее исследование я видел тут

E. E. Radescu and G. Vaman
Exact calculation of the angular momentum loss, recoil force, and radiation intensity for an arbitrary source in terms of electric, magnetic, and toroid multipoles
Phys. Rev. E 65, 046609 (2002)

http://prola.aps.org/abstract/PRE/v65/i4/e046609
Ответ к задаче содержится в формуле 4.12
К сожалению, доступ к статье платный. Если кто-то заинтересовался, то я могу выслать эту статью по почте.

Популярного изложения роли тороидных моментов в мультипольном разложении поля системы зарядов я не знаю. Это мне кажется очень странным, ведь вопрос-то совсем не такой сложный.

Я открыл для себя тороидные моменты всего пару лет назад. Как только я осознал их роль, то почуствовал себя глубоко обманутым. В институте о существовании тороидных моментов не было сказано ни слова. Да и в Ландафшице они не обсуждаются.

PS Задачки у меня потихоньку подходят к концу. Есть ещё две или три, но не более. Жду встречных каверзных вопросов.

В Ландафшице прокол. Надо добавить.
А я про них узнал в университете, у нас электродинамику любили и такие штучки знали. Правда, про излучение я подзабыл, как выяснилось.
Есть статья в физ. энциклопедии про анаполь (тороидный диполь).

http://www.physicum.narod.ru/vol_1/082.pdf

Я эту статью читал. Читал также обзор Дубовика и Тосуняна. Моё мнение состоит в том, что исчерпывающее описание роли тороидных моментов в классической электродинамике дано только в статье, которую я цитировал выше. Меня правда немного смущает, что на неё никто не ссылается.

Я как-то задавал студентам разобраться с тороидными моментами. Ничего, справились.

Возможно и исчерпывающее, но читать 47 страниц сил нет. Хорошо бы выделить из этого главное, размером с параграф учебника.

Ты просто не обратил внимание. Упрощённое изложение для учебников у них приведено на страницах с 33 по 36. Вполне себе один параграф.

Да, действительно. Сохраню эту статью. Думаю, постепенно попадёт и в учебники.

Внимание, простая задача. Недавно мне её подкинули.

Задача. Рыбак переходит с кормы лодки на нос. На сколько сдвинется лодка? Предполагается, что лодка плавает в озере без течения. Необходимо решить задачу в двух случаях
1) Трение лодки о воду отсутствует
2) Трение лодки о воду пропорционально скорости

В случае 1) решение тривиально (центр масс рыбака и лодки неподвижен). Утверждается, что наличие трения не меняет вывода о неподвижности центра масс. Я задачу не решал и правильного ответа не знаю.

Решал в школе. Эх, где мои ЗФТШовские и олимпиадные архивы.
У меня получилось, что лодка не сдвинется.

P.S. Кажется вспомнил, как мы решали эту задачу. Но это личное, как молоды мы были ... А вот как решили, не помню. Сейчас то диффурами да интегралами.

Очень забавно происходит переход к пределу нулевого трения.

Так я прав?

Мне тоже кажется, что задача во 2-м случае некорректна. В самом деле, рассмотрим предельный случай, о котором сказал MS - лодка вмёрзла в лёд(или стоит у берега) Условие на пропорциональность трения скорости не нарушено, а центр масс - изменился. Т е мне кажется, что дело не в законе трения, а в диссипации энергии, которая вряд ли следует из закона трения.

И где правильное решение про предел, самозванец?
Ещё раз посмотрел на твоё "решение" - это какой-то бред сумасшедшего. Такие "решения" нам дедушки приносят на кафедру из колхоза. Оказывается - в народе есть много энтузиастов решать теорему Ферма (однажды даже гипотезу Римана принесли).

Сила сопротивления пропорциональна скорости (Стоксова сила трения). От формы лодки зависит коэффициент перед скоростью. Что тут непонятно?

Ничего некорректного в случае 2) я не вижу. Уже давно выяснено, что в случае с трением центр масс не будет неподвижным. Выше по ветке был дан правильный ответ.

Если есть трение то центр масс сдвинется за рыбаком. Это ясно, если представить трение бесконечным. А вот насколько сдвинется зависит от характеристик трения