Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Тема в разделе "Университет", создана пользователем Grigoriy, 10 дек 2006.

  1. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    Не сомневаюсь, но вопрос был не про локальный, а про условный экстремум, это несколько разные вещи. Уравнение вы решили правильно, просто сам метод неверен, поэтому я и спросил. Прошу прощения, если вопрос показался неуместным.
  2. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Нет, я в уме прикинул локальные экстремумы по частным производным, и мне показалось что в этих точках уже неравенство не выполняется, и сразу вывалил в форум...
  3. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    Кубические по отношению к sqrt(x) и sqrt(y). Я систему не решал как вы, а доказал, что все три решения не могут быть различны, при этом случай совпадения двух корней рассмотреть поленился, потому что уже знал более простое решение
    :)
  4. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Как может быть неверен метод, если человек указывает точку в которой неравенство невыполняется? Если бы оно действительно невыполнялось, то метод верен, но в данном случае я ошибся в расчетах. Мне показалось что при малом Y и Z близком к 0.75 и при X=2.25 неравенство невыполняется.
  5. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    В точке Y=Z=0.75/2 и X=2.25 неравенство выполнятеся.
  6. Guest

    Рег.:
    Сообщения:
    0
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    NS написал в своих выкладках 2/3 вместо 3/2 и поэтому "нашел" противоречие с условием задачи.
  7. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    Я долго не понимал, почему этот метод работает, пока не придумал простую геометрическую интерпретацию. В любой точке допустимой уравнениями связи каждое такое уравнение определяет нормаль к касательной плоскости. Линейная комбинация всех таких нормалей порождает некоторое векторное пространство, "недоступное" в силу уравнений связи. Если в какой-либо точке окажется, что градиент принадлежит этому пространству, то это может быть точкой условного экстремума, так как эффективно градиент оказывается равен нулю в "разрешенной" области. Формульно это как раз и означает, что градиент в точке условного экстремума будет линейной комбинацией нормалей уравнений связи.
  8. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Блин, да!!!
    Саша вы правы! :)
    Я взял корень из 9/4 и получил 2/3 :)
    Совсем голова не варит :(
  9. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Кир, я тоже в своё время( в 71 году) к этому пришёл, но в более простой по-моему форме:
    Мы ищем экстремум нашей функции на многообразии, определённом ограничением. Градиент ограничения функции на многообразие должен быть нулевым в искомой точке. Но он очевидно равен проекции градиента на касательное многообразие. Т е в градиент функции в искомой точке - принадлежит ортогональноому дополнению к этому кас. пр-ву. Но градиенты ограничений - базис этого ортогонального дополнения. Т е градиент функции в искомой точке - линейная комбинация градиентов ограничений.
    Самое смешное, что это тривиальнейшее рассуждение не было видимо известно до конца 50-х(его открыли Дубовицкий с Милютиным), а до этого в учебниках было написано нечто страшное. Я например и пришёл к нему потому, что мне надо было рассказывать множители Лагранжа на семинаре, а я не способен был даже прочесть то, что писалось в учебниках :)
  10. gorm Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.01.2007
    Сообщения:
    496
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Предлагаю историческую задачку от Архимеда.
    Дан сегмент параболы, стягиваемый отрезком AB. Найти площадь сегмента, если известна длина AB и высота сегмента (наибольшее расстояние от AB до точки на параболе). Интегралом пользоваться нельзя - Архимед ведь его не знал.
  11. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    S примерно равно 2/3*a*h , где a - основание, h - высота сегмента.

    Точно значение площади сегмента считать Архимед не умел точно :)

    (Так-же как и длину дуги окружности через основание и высоту)
    Данная Формула для примерных расчетов возможно принадлежит не Архимеду, а Чебышеву, но возможно авторство и другое...
  12. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Если интересуют выкладки, то они элементарны.
    Ограничим значение площади сверху - построим прямоугольник одой из сторон которого является основание, а вторая проходит через точку на дуге, через которую проходит высота. Площадь этого прямоугольника a*h

    Теперь ограничим начение снизу, построим равнобедренный треугольник с вершиной в точке на дуге из которой выходит высота, и с основанием - основание дуги.

    Площадь такого треугольника 1/2*a*h
  13. gorm Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.01.2007
    Сообщения:
    496
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Архимед получает точное значение! Подсказка нужна?
  14. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Архимед не получал точное значение :)
    Так-же как и не знал точное значение числа Пи, не выводил его с четыремя знаками после запятой (а выражал в натуральных дробях)

    Возможно он выводил соотношение между площадью сектора и какой-нибудь другой фигурой, правда площадь которой он тоже посчитать был не в состоянии... (либо между площадью сектора и длиной некоторой кривой)

    Сейчас еще подумаю....
  15. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Архимед не считал площадь сектора точно, согласно имеющейся у меня информации он разбивал сектор на большое число треугольников - то есть считал интеграл.
    Так-же в процессе решения этих задач он изучал свойства "Архимедовой спирали"
  16. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Либо бросал вырезанный из дерева сектор в воду, и смотрел вытесненый объем :)
  17. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    NS, это уже паранойя :) Архимед умел считать этот интеграл точно. Вы про Евдокса слыхали?
  18. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Умел считать точно? А можно ссылку? :)

    Все ссылки говорят о том что Архимед его считал разбивая сектор на треугольники.

    Евдокс вроде говорил об ОТНОШЕНИИ площадей.
  19. gorm Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.01.2007
    Сообщения:
    496
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Ссылка - замечательная книга по истории эллинистической науки
    Lucio Russo, The Forgotten Revolution
    http://www.amazon.com/Forgotten-Rev...ef=sr_1_1/102-9860386-9444140?ie=UTF8&s=books

    Действительно Архимед считал разбивая на треугольники. Но ответ получается точный - ряд сходящийся и легко считаемый.
  20. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Ссылку поищите сами - невелик труд. Наверняка есть в Вики. Евдокс создал теорию вещесвенных чисел, еквивалентную Дедекиндовским сечениям, но по форме несколько более изощрённая. Если у Дедекинда вещественное число - класс рациональных, то у Евдокса, помнится(я читал изложение Бурбаки в "Очерках по истории математики") это оператор на множестве рациональных чисел. Кроме того, Евдокс сформулировал "аксиому Евдокса"("она же "аксиома Архимеда"), что для всяких а и А существует n такое, что аn > А. Вообще поразительный взлёт мысли - явная формулировка свойства непрерывности пространства с ясным пониманием, что это - только одна из возможностей. В частности, эта аксиома вызвала ожесточённые споры, о которых упоминает Архимед, говоря, что он ей пользуется, а кто несогласен - и Бог с ними :)
    Так вот, Архимед именно считал интеграл как предел интегральных сумм. Точнее, понятия предела сформулировано не было. он показывал, что все нижние ИС меньше определённого числа, а все верхние - больше, и таким образом приводил к противоречию оба предположения - что интеграл больше данного числа, и что - меньше
  21. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Нет, в Вики нет (во всяком случае в русской) - это я поискал.

    Сейчас попробую еще подумать, как можно получить сходящийся ряд разбивая на треугольники.
  22. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
  23. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    И тут ничего не вижу про формулу вычисления площади Сегмента круга
  24. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Тут я Вас вообще не в состоянии понять. Плошадь сектора считается методом исчерпывания, вычитается площадь треугольника - и готово :)
  25. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Если Вам интересно, могу послать Вам 3-ий выпуск 2-ой серии "Математического просвещения", где есть статья Бляшке, подробно излагающая работы Архимеда. Обьём примерно 5.5 М в формате djv
  26. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Еще и радиус окружности (сторону треугольника) искать надо...
  27. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Спасибо!
    Да, конечно интересно!

    .

    Только я сейчас и в ближайшее время особо читать ничего не в состоянии, но как только стану "вменяемым" обязательно прочитаю!
  28. TopicStarter Overlay

    Grigoriy Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    10.02.2006
    Сообщения:
    4.099
    Симпатии:
    26
    Репутация:
    2
    Оффлайн
    Послал. И кое-что ещё :)
    Горм, Вы видели мой вопрос в Кухне? Если просто не хотите отвечать - извините за назойливость.
  29. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Да, спасибо, всё получил!
  30. gorm Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.01.2007
    Сообщения:
    496
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Почему круга? Речь шла о сегменте параболы.
  31. NS Нефёдов Сергей

    • Заслуженный
    • Ветеран
    Рег.:
    02.05.2006
    Сообщения:
    6.811
    Симпатии:
    96
    Репутация:
    3
    Адрес:
    Санкт-Петербург
    Оффлайн
    Значит меня преклинило :)
    Мне простительно - от больших количеств обезболивающих и постоянной головной боли вижу всё как в тумане и очень туго соображаю. :(

    Я с самого начала думал о сегменте круга...
  32. gorm Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    18.01.2007
    Сообщения:
    496
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн
    Нет, извините,не видел. Я туда очень давно не заглядывал. Пошел читать.
  33. Kir Старожил

    • Участник
    • Старожил
    Рег.:
    08.02.2007
    Сообщения:
    1.207
    Симпатии:
    223
    Репутация:
    22
    Оффлайн
    Не уверен. Сам Лагранж наверняка его знал, трудно поверить, что такой метод можно придумать, не понимая его смысла.
  34. MikhailK Mikhail Kalenkov

    • Участник
    Рег.:
    12.10.2006
    Сообщения:
    454
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Адрес:
    Moscow
    Оффлайн
    Раз тут уже граждане начали тренироваться во взятии производных (в соседней ветке), то позволю себе подкинуть забавную задачку.
    Нужно установить при каких параметрах alpha существует предел. Задачка сложная.
  35. Quantrinas Учаcтник

    • Участник
    Рег.:
    13.02.2007
    Сообщения:
    3.371
    Симпатии:
    0
    Репутация:
    0
    Оффлайн

Поделиться этой страницей