Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

А как решали?

Возмем какой-нибудь достаточно большой, достаточно удаленный от нуля интервал.
Средняя прибавка (1+2+...+6)/6=3.5
То есть на этом интервале покроем Размер_интервала/3.5 чисел.

А вот еще задачка из теории игр с двумя игральными костями.
Каким должен быть ответ для события 6-6 чтобы игра была равной? Или иначе - сколько в среднем нужно бросков для такого события?
Многие профессиональные игроки интуитивно решают эту задачку неправильно

35/36 ^ X =0.5
X*Ln(35/36)=LN(0.5)
X=LN(0.5)/LN(35/36) примерно равно 24,6

Молодец, NS! 5 баллов!

Времени придумывать (искать) интересные задачки пока нет. Воспользуюсь старыми запасами. Я неравнодушен к логарифмическим асимптотикам интегралов. Вот простенькая задачка на эту тему. Необходимо вычислить первый член асимптотического разложения J(x) при малых x (смотри картинку)

Что-то энтузиазма этот вопрос не вызвал. Публикую правильный ответ.

Напрашивающийся ответ, что ось пятого порядка невозможна, так как

http://www.chemnet.ru/rus/teaching/djadchenko/1.html
Действительно, ось симметрии пятого порядка в кристаллах невозможна, но существуют довольно любопытные упорядоченные состояния вещества, называемые квазикристаллами

Тут расположена популярная статья о квазикристаллах
http://journal.issep.rssi.ru/page.php?year=1997&number=1&page=87
Квазикристаллы обладают довольно необычными характеристиками. Жаль только, что красивую задачку для студентов придумать никак не удаётся. Сложно всё там.

Задачки хорошие. Но Вы, MikhailK, скажите лучше делать с Вашей первой задачей (с таким простым физическим условием и непонятно каким решением) про лодку? Кроме всего прочего, скорость лодки меняется со временем, и то, как именно она меняется зависит от действий мужика на лодке. А значит и диссипация энергии на всем процессе - зависит от действий мужика.
Интересно, а можно ее решить численно?

Да вот же решение
http://kasparovchess.crestbook.com/viewtopic.php?pid=79670#p79670
Видно, что от способа перехода лодки ответ не зависит.

Жаль только, что предположение о линейной зависимости силы трения от скорости соответствует лодке плавающей в битуме. В воде такой закон можно применять только при очень-очень небольших скоростях.

Если отвечать на вопрос

то я считаю, что такую задачу нужно выкинуть на помойку или так переформулировать, чтобы она стала хоть немного поближе к реальности.

Вы же показали, что число Рейнольдса очень велико. Так что предположение о линейной зависимости не работает, а значит и решение тоже. Если предположить, что диссипация это некая функция скорости, то интеграл от этой функции от t1 до t2 равен нулю. Погодите, но ведь скорость не должна менять знак. Да и функция - наверное, монотонная. Если интеграл от g(x') равен нулю, то и g(x')=0. А значит и x'=0. Нет?

Задача как раз очень реальная. Реальный мужик на реальной лодке. Вопрос, как решать

Численно!

Чтобы закончить с задачей о лодке, напишем ее полное решение (естесвтенно, предполагая что сила трения пропорциональна скорости лодки). Пусть смещение лодки равно y(t), причем y(0) равно нулю, а смещение рыбака равно L(t), причем L(0)=0, а L(T)=L (здесь T - время перехода рыбака с одного края лодки на другой, а L-длина лодки). Уравнение для y(t) имеет вид y'(t)+K*y(t)/(M+m)=-m*L'(t)/(M+m) (K-коэфф. трения). Решение такое: y(t)=-m*L(t)/(M+m) *exp(-K*t/(M+m)). В момент T окончания движения рыбака, получаем: y(T)=-m*L/(M+m) *exp(-K*T/(M+m))= Y(0) * exp(-K*T/(M+m)), где Y(0) - ответ для нулевого трения. Иными словами, если переход происходит много быстрее характерного времени M/k, то смещение практически совпадает с ответом для нулевого трения, если много медленнее, то лодка практически останется на месте. Если сила трения задается другой зависимостью от скорости, то решать уравнение придется уже численно. По-моему, эту задачку не стоит давать школьникам - полное решение они, скорее всего, не получат, а неполное решение порождает полупонимание, что неправильно с педагогической точки зрения.

опытным путем! как раз май на дворе

Хорошая, кстати, мысль. Как раз недавно на байдарке ходил, забыл проверить

Опередил! Я как раз пытался вспомнить, как по лодке переходил.

я насколько помню, лодка вообще в состоянии покоя бывает только на якоре. но и на нем, если по ней ходить, она как маятник потом качается из стороны в сторону.

если лодка просто дрейфует, то переходы по ней направление дрейфа меняют. м.б. потому, что переход по лодке не равномерное усилие, а сумма толчков, каждый из которых рождает противодействие...

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%A0%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B4%D1%81%D0%B0

Если серьёзно, то давай перечислим те величины, которые важны в данной задаче.

ρ ? плотность среды
μ ? динамическая вязкость среды
l ? характерный размер

Из этих величин можно составить величину с размерностью скорость μ/ρl. Эта скорость в нашей задаче очень мала и не может играть роль характерной скорости. Вынужден повторить свой вопрос. Какие размерные параметры важны в задаче с лодкой?

Ничего не понял. А кто такой Ro(v=1)? Чему равна (число!) твоя характерная скорость?

Критическое число Рейнольдса для случая обтекания сферы примерно равно 350.
http://windtunnel.engr.ucdavis.edu/research/spheres/
Теперь все числа есть, чтобы вычислить характерную скорость. Так чему равна твоя характерная скорость?

Кстати, если интересоваться не смещением лодки сразу после остановки рыбака, а полным смещением лодки за бесконечное время, то, как это ни удивительно, оно будет равно нулю - после остановки рыбака лодка будет иметь как раз такую скорость, чтобы вернуться в исходную точку. Это становится очевидным, если представить что рыбак продолжает движение с нулевой скоростью бесконечно долгое время При исчезающе малом коэффициенте трения K смещение будет равно Y(K=0)-Y(K=0) *K/K. Если К строго равно нулю, то неопределенность во втором слагаемом должна рыскрываться как 0, хотя это и очень странно. В общем, я был неправ, полное смещение как функция K не будет непрерывна при К=0. Удивительное рядом.

У меня как раз вопрос вызвал энтузиазм, но я знал про мозаики Пенроуза и недавнее открытие реальных кристаллов, построенных по этому принципу. Лезть с ответом поэтому не стал. Однако я решил пошукать, что новенького известно в этой области и наткнулся на очень интетересную совсем свежую статью в Science, о том, что средневековые мусульманские архитекторы эти мозаики хорошо знали и активно применяли. Об этом и намекнул в своем сообщении выше. Материалы здесь:

http://www.physics.harvard.edu/~plu/research/islamic_quasicrystal/

Я извиняюсь, но я видимо совсем тупой. Что означает 0.35 мю (в СИ)? Что это такое и в каких единицах?

Вот с этим полностью согласен. Задача должна начинаться так: "Абрамович переходит с кормы своей яхты на нос...". Вот только смещения яхты во время движения Абрамовича будут настолько ничтожны и медленны, что задача становится несколько нелепой. Мне задача не нравится.

Логарифмические асимптотики никто считать не хочет. Ладно, мне больше достанется. Попалась мне на днях простенькая задачка

Мне такое тождество показалось забавным.

PS Есть ещё у меня в закромах задачка на полиномы Чебышева, но боюсь, что никто решать не будет.

Действительно простенькая. Но забавная. x^(-x)=exp(-x*ln(x)), потом экспоненту разложить и взять интегралы по частям.

Вопрос по матстату, а то я все забыл. В духе "трое шли — три рубля нашли, семеро пойдут - сколько найдут?"

Задача - производим выборку в размере X, при этом в Y случаях достигаем успеха. (X велико)
Хотим найти границы, в которых с вероятностью 99% будет лежать число успехов для выборки в размере X_1>>X.

Я правильно понимаю, что стандартный мухлеж, которого тут хотят, таков - считаем, что это испытания Бернулли с вероятностью успеха Y/X и дальше Лаплас?

Или нужно еще извратиться на этапе оценивания параметра для Бернулли?

Влад.

Это надо спросить у авторов задачи
В первом случае слишком просто, во втором достаточно сложно.

Но это же более-менее стандартный вопрос, в жизни сплошь и рядом (провели соцопрос и хотим экстраполировать результаты на всю страну). Как его решают?
Увы, автор задачи уточнений не оставил...

Скажем так - в предположении, что это одна из первых задач по матстату в жизни - верно ли, что с вероятностью >95% имеют в виду первый метод?
Мне он не нравится, естественно, потому что по маленькой выборке Бернулли-параметр может определиться с ошибкой, которая сведет на нет наши попытки точно посчитать что-то для большой выборки.

Влад.