Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Считают доверительный интервал процента (вероятности события) по выборке и умножают на X_1

 

А можно поподробнее? Какие-нибудь тупые числа возьмем, опросили 100000 человек, получили 40000 положительных ответов. Хотим доверительный интервал на уровне 0.05. В какой таблице и что искать?

Влад.

 

Хотим доверительный интервал на уровне 0.05.
Зачем таблицу? Для распределения Бернулли примерно две сигмы.

 

То есть в нашем случае p=0.4, q=0.6, дисперсия примерно sqrt(0.24)=0.49. А интервал тогда 40000\pm 2*0.49*sqrt(100000)=40000\pm 309.9? И его уже пропорционально раздуваем?

Влад.

 

Да, если X_1 >> X, то
Дисперсия равна 100000*0.4*0.6=24000
Сигма равна 155
Две сигмы равно 310
Примерный 95% доверительный интервал [39690,40310]

если X_1 равно 10 000 000, то 95% доверительный интервал [3969000,4031000]

 

Ну и доверительный интервал на вероятность события - [39,69%;40.31%]
При Х_1 >> X считаем исходя из этого доверительного интервала.

 

На сайте fizmat.vspu.ru есть ссылка на математический марафон. Как раз начинается новый тур, все желающие приглашаются.
РЕШЕНИЯ НОВЫХ ЗАДАЧ СЮДА НЕ ДАВАТЬ!

Последняя задача прошлого тура (Внимание! На сайте есть ее решение! Ходите осторожно!):

В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков.
На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы не последнее, а первое место.
Более того, при подсчете очков по футбольным правилам, никакие два участника по-прежнему не имели бы поровну очков, но при этом выстроились бы в итоговой таблице в обратном порядке.

1. Какое наименьшее число партий могло быть сыграно в таком турнире?
2. При каком наименьшем k возможна описанная ситуация?
3. При каком наименьшем n достигается наименьшее k, при котором возможна такая ситуация.

Влад.

 

У меня появилать феерическая задачка. Гарантирую, что никто о ней ещё не слышал. Задачка возникла 3 года назад, как побочный продукт деятельности некоторых математиков в области теории бильярдов. Если успею её всесторонне проанализировать, то завтра опубликую условие.

 

Любопытно, теория бильярдов меня как раз сейчас интересует.

 

А что такое k кругов? Это значит, что каждый сыграл k партий с разными соперниками или каждый с каждым сыграл k партий, а всего k*(n-1)?

 

Итак, феерическая задачка. Рекомендую всем.

Вдоль оси x могут двигаться без трения два шарика с массами m и M. Слева от шариков поставлена абсолютно упругая стенка, от которой шарики отскакивают без потери энергии (ясно, что со стенкой будет сталкиваться только шарик с массой m). Столкновения шариков между собой также считаются упругими.

Пусть в начальный момент времени шарик с массой M движется по направлению с стенке, а шарик с массой m неподвижен. Тогда после нескольких столкновений шариков между собой и со стенкой шарик с массой M будет лететь от стенки, а ещё через несколько столкновений шарик с массой M будет иметь скорость больше, чем шарик с массой m и столкновения в системе прекратятся. Другими словами, суммарное число столкновений (со стенкой и шариков между собой) в системе будет конечным.

Вопрос. Найти суммарное число столкновений в системе. Чтобы прочувствовать фееричность задачи, найдите суммарное число столкновений в системе для отношения масс шариков равным m/M=10^(-2*q), где q - целое положительное число.

Удачи!

 

Каждый с каждым конечно.

Влад.

 

ОСТОРОЖНО! НИЖЕ БУДЕТ ПОДСКАЗКА!!

Чуть выше я задавал феерическую задачку.
http://kasparovchess.crestbook.com/viewtopic.php?pid=87255#p87255
Подозреваю, что многие мне не поверили и прошли мимо. Очень зря. Сейчас я продемонстрирую, что задача действительно потрясающая.

ОСТОРОЖНО! НИЖЕ БУДЕТ ПОДСКАЗКА!!

Чтобы прочувствовать фееричность задачи, я рекомендовал найти суммарное число столкновений в системе для отношения масс шариков равным m/M=10^(-2*q). Ответ такой

m/M полное число столкновений
10^(-2*0) 3
10^(-2*1) 31
10^(-2*2) 314
10^(-2*3) 3141
10^(-2*4) 31415
10^(-2*5) 314159
...
и так далее выписываются цифры десятичного разложения числа пи! Как вам такой ответ?

 

Действительно эффектно! А если m/M=2^(-2*q), и писать в двоичной системе

 

Геометрическая задача.

Пусть ABC - произвольный треугольник. Разделим каждый из углов треугольника на три части (проведём триссектрисы). Точки пересечения смежных трисектрис углов треугольника являются вершинами некоторого треугольника.

Вопрос. Найти стороны получившегося треугольника. Гарантирую, что ответ получится удивительнейшим.

 

По-моему соответствующая картинка была даже на обложке книги Коксетера "новые встречи с геометрией", которую еще в школе читал.

 

http://mathworld.wolfram.com/FirstMorleyTriangle.html

 

http://mathworld.wolfram.com/FirstMorleyTriangle.html

[c]<A, B, C - углы начального треугольника>[/c]

 

Учитывая недоступность КС вчера днём, следует признать, что ответ появился молниеносно. Боюсь, что после ответа azur'а никто не кинется за вычисления.

 

А куда делась задача о пересечении кругов? Я попробовал решить, но, кажется, это очень сложная задача. Наверное, круги можно заменить любым выпуклым и односвязным множеством, но не уверен. Решение у нее есть?

 

обсуждение тут
http://kasparovchess.crestbook.com/viewtopic.php?pid=91301#p91301
разгадка тут
http://kasparovchess.crestbook.com/viewtopic.php?pid=91907#p91907
далее Google

 

Ясно. Не сообразил в какой теме искать Thank you, MikhailK.

 

В той теме решение не нашел, возможно, оно причудливо перемешано с другой геометрической задачей, которая активно там обсуждалось. Чтобы не было путаницы, приведу свое решение, тем более, что оно очень короткое. Доказательство проводим по индукции. Первый шаг. Докажем, что если любые три круга на плоскости имеют общую точку, что то же самое верно и для любых четырех кругов. Пронумеруем произвольные четыре круга 1,2,3,4. Возьмем четыре точки, принадлежащие одновременно трем кругам (123), (124), (134) и (234). Очевидно, что любые три точки из этих четырех принадлежат какому-то одному из четрырех кругов. Из выпуклости кругов сразу следует, что и весь треугольник будет принадлежать этому же кругу. Проведем в четырехугольнике две диагонали. Ясно, что их точка пересечение принадлежит всем четырем кругам. Второй шаг индукции. Пусть любые N-1 круга имеют общую точку. Докажем, что то же самое верно и для любых N кругов. Снова занумеруем круги и возьмем четыре точки, принадлежащие кругам (123.56...N), (12456...N), (13456...N) и (23456...N).
Опять-таки, из выпуклости следует, что весь это четырехугольник принадлежит кругам с 5 по N, а точка пересечения диагоналей, кроме того, принадлежит еще и кругам 1,2,3 и 4. Ч.Т.Д.

 

Неполно. Именно, возможен случй, когда рассматриваемые Вами 4 точки не образуют выпуклый 4-угольник, а одна из них лежит внутри треугольника, образованного 3-мя другими. Но тогда очевидно, что она принадлежит всем 4-m кругам.
А решение в той теме так и не было написано

 

Да я знаю, есть еще случай, когда все четыре точки лежат на одной прямой, просто лень в этом разбираться и потом набирать текст. Геометрически очевидно, что вырожденные случаи будут проще доказываться.

 

Было бы глупо копировать доказательство из интернета. После того как было дано название задачи, поиск немедленно даёт несколько доказательств
http://www.google.com/search?source=ig&hl=ru&q=Helly%27s+theorem+proof&btnG=%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA+%D0%B2+Google&lr=

 

Я имел ввиду, что это была моя обязанность(для данного случая), раз я оборвал Шермана(пожалел - у него было видимо длинно ). Я и собирался написать - тоже что Кирр, но полностью(он кстати неправ насчёт прямой - этот случай как раз покрывается его рассуждением), но раз Вы привели ссылку - не стал.

 

Конечно, покрывается. Но все-таки требует отдельного рассмотрения как и ваш пример. Задачка, впрочем, хороша. Но задачка про сечение гиперкуба мне понравилась больше.

 

?!? Первый раз слышу! Я что-то пропустил? Продублируй тут условие, пожалуйста.

 

Сообщение N79 в этой теме это задача. Сообшение N124 мое решение. Не абсолютно строгое, впрочем.

 

Кирр, ну что Вы такое говорите Вырожденность четырёхугольника никак не сказывается на рассуждении.

 

Не сказывается.

 

Братцы, меня тут озадачили - ни знаю
Говорят, что мол тестовые microsoft
Дано: Ваш товарищ написал функцию - генератор случайных чисел.
С равномерным распределением чисел от 1 до 5.
Задача: Написать функцию с использованием функции вашего товарища,
НО с равномерным распределением от 1 до 6
P.S. решение x*6/5 - не предлагать
P.P.S. Может енто и попса, но всеже хотелось услышать ответ

 

Я могу написать бесконечно много таких функций. Тебе сколько нужно?

 

Хотя бы пять
Буду очень признателен !!!