Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Да, согласен. Привык, что в физике матрицы эрмитовы

 

Но вот что мне непонятно. Поделив и переобозначив, уравнение можно свести к x^2+bx +c=0. Пусть x=z-b/2*I, тогда уравнение на z будет z^2=(b^2/4-c)*I, а у него бесконечное количество корней. Значит, и исходное уравнение имеет бесконечное количество корней. Где ошибка?

PS. Все понял. Забыл, что b и c матрицы.

 

**
Упоминания куперовских пар достаточно, или нужна теория БКШ?
Математика, кстати, тоже интересна.

 

Не нужно ни того, ни другого. Не следует усложнять решение без лишней необходимости. Считай, что кроме достаточно удалённых друг от друга двух тел больше ничего нет.

Есть у меня ещё одна простенькая задачка, которую даже я смог решить.

 

Оглашу правильный ответ к задаче часовщика. Первые часы можно сделать бесконечным числом способов. Вторые часы изготовить невозможно. Простого доказательства этих фактов я не знаю .

Если кто-то неравнодушен к рациональным точкам на гиперэллиптических кривых, то могу дать ссылку на решение.

 

Совершенно случайно мне в руки попалась непростая, но очень забавная задачка.

Итак. Имеется бесконечный набор совершенно одинаковых книг (или кирпичей). Их начинают выкладывать на край стола, добиваясь того, чтобы получающаяся конструкция как можно сильнее выпирала за край стола. Например вот так

Сразу возникает масса интересных вопросов
1) Какова оптимальная укладка трёх книг?
2) Какова оптимальная укладка четырёх книг?
3) Как ведёт себя ширина нависающей части книжной прирамиды при стремлении числа книг в ней к бесконечности?

Удачи!

PS Трение отсутствует.

 

Слишком сложно - тут знания механики нужны. Одним центром тяжести не отделаться

 

Я знаю только решение для простой укладки - одна на одну. Ответ - выдвинуть можно на бесконечное расстояние, укладывать надо, начиная с верхней костяшки по гармоническому ряду, сумма которого 1/2+1/3+1/4+... расходится. Поскольку в приведенном на картинке примере выдвижение больше, чем частичная сумма гармонического ряда, ответ вида одна на одну - не лучший.

 

Первая внизу, вторая сверху, третья на самом верху.
Вторая сдвинута на 1/2 по отношению к первой, третью не то что на 1/3, а вообще сдвинуть нельзя - центр тяжести из системы Вторая-Третья лежит за пределеми первой - упадет!

Code:

   
   ****
  ****
****

Такая конструкция упадет!

Так-же неустойчива и такая конструкция:

Code:

   
   ****
****  ****
   ****

 

наоборот! нижние книги сдвинуты немного (1/k), а ближе к вершине сдвиг увеличивается до 1/2. Сразу скажу, что гармоническая укладка не является оптимальной. Оптимальная укладка даёт нависание ~n^(1/3).

 

Code:

...****
.****
****

Такая конструкция тоже упадет. Центр тяжести двух верхних костяшек за пределами нижней.

 

Ты прав! Блоки нужно сдвигать не по гармоническому ряду, а по немного разреженному гармоническому ряду. Сдвиги соседних блоков равны 1/(2*k).


Может мне просто дать ссылку на недавнюю статью по этому вопросу? Я пока её не даю, так как боюсь испортить кому-нибудь всё удовольствие от задачи.

 

Конструкция приведенная в посте с постановкой задачи скорей всего не идеальная, так как доминошки можно разрядить, например такая конструкция:

Code:

...****
...****
...****
****..****
...****

Устойчива.
Кроме центра тяжести нужно считать все силы действующие на каждую костяшку.

 

Нужно быть аккуратным, так как может случиться вот такой конфуз

 

Я об этом выше писал. Для того чтоб такое случилось должны "подняться" вышестоящие элементы.
Слишком сложная для "не физика" задача.
Хотя можно начать с маленьких контрукций, посчитать все центры тяжести и все силы действующие на все элементы. Но это долго

 

К задаче об укладке книг на столе

http://www.cs.tau.ac.il/~zwick/papers/overhang-SODA.pdf
http://ru.arxiv.org/pdf/0707.0093
Приятного чтения.

 

Не помню, была ли здесь эта задача:
Есть небоскрёб в 100 этажей. Имеем 2 абсолютно одинаковых стеклянных шарика. За какое наименьшее число бросаний можно гарантированно определить, при бросании с какого наинизшего этажа шарик разбивается.

 

Наивысшего

Наинизший - земля.

 

Я знаю эту задачу, хотя решение вывел заново сейчас. Если никто не придумает, опубликую.

 

Наинизшего. А для n шариков - умеете? Когда я в 1-ый раз решил эту задачу, я написал дифур Потом нашёл попроще и получше

 

Я бы решал это так. Надо найти такие m и k, чтобы m*k = 100 и сумма m+k - минимальна. Первый шарик кидаем каждые m этажей, второй - каждые k. Ответ - 19. В случае трех шариков возникают кубические корни из числа этажей (ответ будет недалек от 3*n^(1/3)-2, недалек, так как n^(1/3) может не быть целым числом), в общем случае - корни n-ой степени.

MikhailK - отличная задача про книги на столе!

 

Не торопись. Я хочу подумать.

 

Первое "тругольное" число больше 100 - от 14.
По идее, 14 попыток должно хватить

 

Точно! Нашел за 14. Кто меньше?

 

51
Наверное, я условие не понял.

 

Для случая n шариков, как я понимаю, нужны n-мерные треугольники (пирамида и тд). Симпатичная задача.

 

Объясните, please. Кидаем первый шарик на m>2 этажей, он разбился - и что дальше?

 

Верной дорогой идете, товарищ.
После ответа на этот вопрос нужна уже некоторая оптимизация стратегии...

 

Какая уж там стратегия с одним шариком. Остаётся кидать на 2,4,6 и т.д. этажа?

 

У меня получилась вот такая оценка числа бросаний для многоэтажного дома — sqrt(2*N), где N - число этажей в доме. Для 100 этажного дома моя формула даёт 14. При выводе я переходил от дискретной переменной к непрерывной, поэтому мой ответ не обязательно точный. Завтра может улучшу вывод.

 

Вроде нет. С одним шариком приходится бросать с каждого этажа.

 

Ну да. А с двумя: первый 2,4,6, а второй потом.

 

Такая стратегия неоптимальна! А нужно найти найти такую стратегию, при которой бросание шариков производится минимальное число раз.

 

Так я и пытаюсь понять эту стратегию. Первый раз с какого этажа кидаем?