Философские проблемы ранжирования

Да, спасибо - я периодически заглядываю. Правда, пока не на все свои вопросы нахожу там ответы...

Еще одну мысль зафиксирую.

Я был не совсем прав, когда утверждал, что p-рейтинги (перфоманс, е-рейтинг) разных турниров бессмысленно сравнивать между собой.
На самом деле, если у нас нет какой-то дополнительной информации, то для турниров людей можно постулировать инвариант сохранения общей силы игры. То есть, если кто-то стал играть лучше, то остальные (при неизменном составе) настолько же стали играть хуже.

Пусть
R1(A) - p-рейтинг игрока А по итогам турнира 1,
R2(A) - p-рейтинг игрока А по итогам турнира 2,
R1(Б) - p-рейтинг игрока Б по итогам турнира 1,
R2(Б) - p-рейтинг игрока Б по итогам турнира 2,
и т.д.

Тогда инвариант имеет вид: R2(A)/R1(A) * R2(Б)/R1(Б) * ... = 1.

Простой поясняющий пример (для 2-х игроков).
По итогам первого матча между А и Б отношение их p-рейтингов составило R1(A)/R1(Б) = 2/1. А по итогам 2-го силы стали равны: R2(A)/R2(Б) = 1/1. Тогда при постулировании сохранения общей силы игры получаем, что p-рейтинг игрока Б увеличился в 1.41 (корень из двух) раз. Соответственно, p-рейтинг игрока А во столько же раз уменьшился.

Да я сам много чего там не могу найти хотя точно знаю что размышлял на эту тему

Что касается разных турниров. Если есть общие участники, то вообще нет никаких проблем вы просто обсчитываете общую матрицу да и все. Если нет общих участников то у вас есть только один способ - это принять предположение о соотношении сил. Причем вы это можете сделать так считать, например что что средний уровень их одинаков. То есть просто зобить общую матрицу фоном бесконечно малых величин. Или предположить например что Иванов ТОЧНО играет в силу ПЕТРОВА. Для этого в ячейке Иванов - Петров стваите 1-1 или 100000-100000

Мне показалось любопытным сравнить динамику p-рейтингов участников Линареса по турам. Определение p-рейтинга дано выше - такой относительный рейтинг участников, который не меняется с учетом их результатов в турнире. Чему и насколько соответствует p-рейтинг - вопрос. Поэтому понаблюдаем за его динамикой.

P-рейтинги отнормированы таким образом, чтобы их сумма была постоянной и равнялась 400. В скобках указано количество очков участника после обсчитанного тура. Первый тур пропускаем, поскольку на основе его результатов невозможно рассчитать p-рейтинги (не все участники пересеклись).
[c]
УЧАСТ 2-й тур 3-й тур 4-й тур 5-й тур 6-й тур 7-й тур

1. ШИРО 25 (0.5) 13 (1.0) 55 (2.0) 49 (2.5) 46 (3.0) 60 (4.0)
2. КАРЛ 75 (1.0) 11 (1.0) 23 (1.5) 40 (2.5) 31 (2.5) 49 (3.5)
3. ЛЕКО 25 (1.0) 42 (1.5) 41 (2.0) 28 (2.0) 35 (2.5) 27 (2.5)
4. ТОПА 75 (1.5) 188(2.5) 77 (2.5) 49 (2.5) 55 (3.0) 58 (4.0)
5. АРОН 25 (1.0) 35 (1.5) 73 (2.5) 79 (3.0) 71 (3.5) 51 (3.5)
6. РАДЖ 25 (0.5) 56 (1.0) 43 (1.5) 40 (2.0) 50 (3.0) 40 (3.0)
7. ИВАН 125(1.5) 31 (1.5) 21 (1.5) 23 (2.0) 28 (2.5) 35 (3.0)
8. АНАН 25 (1.0) 24 (2.0) 66 (2.5) 91 (3.5) 83 (4.0) 81 (4.5)
[/c]
Итоги 7-го тура.
Чувствительную потерю рейтинга понес Аронян, а ощутимую прибавку получил Карлсен. Такое значительное изменение рейтингов показатель того, что результат партии не соответствовал соотношению рейтингов игроков. В данном туре только один результат совпал с ожидаемым (Топалов-Леко). Такая непредсказуемость результатов характерна и для всей первой части турнира в целом.

Итоги 6-го тура.
Наблюдаем стабилизацию рейтингов. Возможно, что текущие значения уже соответствуют реальному соотношению сил (и везения) участников турнира. Тогда можно поставить такую задачу - каковы должны быть результаты очередного тура, чтобы p-рейтинги участников не изменились (или минимально изменились)?

Итоги 5-го тура.
"Внешние силы" сработали против Топалова. Отношение рейтингов участников, сыгравших вничью, практически не меняется.

Итоги 4-го тура.
Рейтинги выравнялись (как и очки). Такое наблюдение - если р-рейтинг какого-либо участника сильно превышает остальные, то в очередном туре внешние силы будут против него (Иванчук 3-й тур, Топалов 4-й тур).
Рейтинг Раджабова в 2 раза превышает рейтинги Иванчука и Карлсена несмотря на равенство очков.

Итоги 3-го тура.
Что выглядит странным. Ананд имеет 2-е место по очкам и лишь 6-е (!) место по p-рейтингу. Почему? Потому что он выиграл у участников, чей рейтинг наиболее низок (Широв и Карлсен).
Неоправданно высоким выглядит р-рейтинг Топалова. Его рейтинг превосходит рейтинг Карлсена в 17 раз.

Видим также, что колебания p-рейтингов в первых турах довольно высоки. Проигрыш Иванчука и Карлсена в 3-м туре привел к изменению их рейтинга соответственно в 4 и 7 раз. То ли результаты участников в первых турах этого турнира имеют большую энтропию (и слабо предсказуемы), то ли еще пока мала база (мало туров) для самого p-рейтинга...

Далее планирую помещать результаты в этот же пост.

Может, у кого-нибудь есть идеи по способам решения такой задачи? Похоже на вариационные задачи.
То есть мы хотим использовать p-рейтинги для прогноза результата очередного тура. При этом получается, что прогноз результата двух участников зависит не только от их р-рейтингов, но и от рейтингов остальных игроков. Наверное, в этом есть смысл.

Зафиксирую алгоритм сравнения р-рейтингов различных турниров в общем случае.

1. Р-рейтинг является наиболее адекватным показателем результата участников турнира. Данный рейтинг не имеет времени релаксации и является одномоментным срезом относительной силы (игровых показателей) игроков.

2. Интересной представляется задача сравнения р-рейтингов одних и тех же участников разных турниров с тем, чтобы выявить динамику - кто насколько усилился, а кто наоборот.

3. Подобного рода задачи решаются нормировкой р-рейтингов игроков. Инвариант нормировки - произведение всех нормированных рейтингов должно быть равно 1.

Rn1*Rn2*Rn3*Rn4*...*RnN = 1. Здесь Rn1 - нормированный р-рейтинг 1-го игрока, Rn2 - 2-го и т.д.

4. Для получения нормированного р-рейтинга необходимо определить среднегеометрический р-рейтинг участников:

Rave = Корень N-й степени из (R1*R2*R3*...*RN). Здесь R1 - ненормированный р-рейтинг 1-го игрока, R2 - 2-го и т.д.

5. Тогда Rn1 = R1/Rave, Rn2 = R2/Rave, и т.д.

6. Теперь можно сравнивать р-рейтинги разных турниров. Если в турнире А участник показал рейтинг Rn(А), а в турнире Б - Rn(Б), то его сила (показатели) изменились в k = Rn(Б)/Rn(А) раз. Если k > 1 - сила игры возросла, < 1 - упала. Произведение k всех игроков равно 1.

7. Пример расчета нормированных р-рейтингов участников турнира Вейка и Морелии-Линарес (2008) приведены здесь здесь.

8. Вообще, данная задача эквивалентна задаче оценки изменения относительной стоимости товаров (ценных бумаг) на рынке. Пример: вчера за грушу давали два яблока, за апельсин - полтора. Сегодня за грушу дают 3 яблока, за апельсин - одно. Требуется определить, что и насколько подорожало/подешевело. Решается аналогично.