Философия науки

Концептуальный аппарат и проблематика ТМ так или иначе используется:

в области философии, в онтологии, теории познания,
в логике,
в лингвистике,
в теоретической социологии,
в когнитивных науках,
в психологии.

То есть - в науках, которые, казалось бы, не находятся с математикой в отношениях самого ближайшего соседства.

 

Не все.
Не зря старший Капица делил науки на естественные, неестественные и противоестественные. З павагай

 

+1 Даже в выборах результат зависит не только от того, КТО, КОГО но и КАК выбирает.

...еще в другой ветке показал. Какой? Подскажите ка, и если есть, то мат. логику, чтобы там сразу не аксиоматизировалось ДА, НЕТ, ТРЕТЬЕГО не ДАНО. З павагай

 

Уважаемый инфолиократ !

Дискуссия родилась в ветке "Шахматы и современное общество", раздел "Кухня". Искать надо, если мне не изменяет память, начиная с 25 страницы. Мы пытались понять, какая из двух дисциплин, мат.ан. или ТМ является приоритетным дидактическим ресурсом в плане формирования миропонимания и становления научного мышления учеников.

Что касается упомянутых Вами многозначных логик, надо отметить, что в целом ряде вузов все это преподается. У нас в МГУ, например, был курс, который назывался "неклассические логики". Третий семестр логики на философском факультете. А начинали мы, конечно, с логики высказываний, и чуть позже изучали логический анализ языка, логику предикатов и т.д.

 

Без сомнения. Предполагаю, что за исключением математической логики везде используются элементарные представления о множествах и их взаимных включений и пересечений. Это неудивительно, так как само понятие множества весьма естественно, понятно и применимо почти в любой ситуации. Я бы отнёс такие применения скорее к конечной комбинаторике. Дело вряд ли доходит даже до самой простой из удручающей разум йерархии бесконечностей ТМ - счётной бесконечности типа натуральных чисел.

 

Представлять не важно, но понимать обязательно .
Скажем, линия Суслина не может существовать в нашем пространстве, даже в n-мерном, но в уме математиков она здравствует. В отличие, непрерывная, но недифференцируемая (негладкая) линия (имени Пеано) вполне может заполнить квадрат, не пропуская ни одной точки площади того, хотя мы не можем "увидеть" или представить себе ее. Умом однако понимаем, что такое может быть

 

Хайдук написал:

Без сомнения. Предполагаю, что за исключением математической логики везде используются элементарные представления о множествах и их взаимных включений и пересечений. Это неудивительно, так как само понятие множества весьма естественно, понятно и применимо почти в любой ситуации. Я бы отнёс такие применения скорее к конечной комбинаторике. Дело вряд ли доходит даже до самой простой из удручающей разум йерархии бесконечностей ТМ - счётной бесконечности типа натуральных чисел.
____________________________________________

Не буду возражать. Понятно, что для разных наук в ТМ могут быть актуальны разные аспекты. Действительно, как Вы справедливо подметили, понятие "множество" используется в совершенно разных сферах и в этом смысле перестает быть исключительно математической прерогативой. Да и операции с множествами осуществляются тоже в совершенно разных научных областях. И, конечно, философские основания ТМ всегда вызывали острый интерес.

 

Да! Именно эти примеры использовались учениками Пиаже в дискуссиях о том, каким образом разуму человека могут быть даны идеальные объекты.

 

Что подразумеваете под "философскими основаниями ТМ"?

 

Не уверен, что линия (континуум) Суслина использовалась учениками Пиаже , но "идеальные" объекты ничуть не хуже "материальных" или "реальных", ибо так называемый материальный мир соткан как раз из ... математических абстракций :mad:

 

Думаю, будет правильно, если воздержусь здесь от развернутого ответа, поскольку требуемый объем тянет, как минимум, на полноценную научную статью, что не предполагает сам формат нашего форума. Тем более что термин "философские основания математики" и "философские основания ТМ" являются традиционными и широкоупотребимыми, так что информацию вполне можно найти, а уж здесь обсуждать более детальные вопросы.

Но несколько ссылок приведу.

http://ega-math.narod.ru/Nquant/Cohen.htm -
П. Дж. К о э н. ОБ ОСНОВАНИЯХ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Известный текст, прослеживается связь философии и ТМ, обсуждается проблематика оснований.

http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&set=1&list=46&id=36517 -
Френкель А.А., Бар-Хиллел. Основания теории множеств. Это - одна из лучших работ по обсуждаемому вопросу. В ссылке, по крайней мере, приведено содержание и дана аннотация. Кстати, книга недавно переиздана и доступна в продаже.

http://www.philosophy.ru/iphras/library/granitsy/katasonov.htm
Статья, в которой, в частности, обсуждаются философские проблемы ТМ Кантора.

http://www.biblion.ru/product/468581/
Ссылка на блестящую книгу Асмуса - "Проблема интуиции в философии и математике".

 

Можете мне поверить, речь шла именно о континууме Суслина Лично слышал на одной из конференций по когнитивной психологии.

Что касается Вашего тезиса об онтологическом статусе математических объектов ("мир соткан из математических абстракций"), то, собственно говоря, Вы здесь не первый. Две с половиной тысячи лет назад лучшие умы человечества размышляли об этой проблеме, и некоторые их них склонялись к тому, чтобы с Вами согласиться. Неплохой исторический обзор дан в книжке А.Ф. Лосева. "Миф. Число. Сущность".

Вы придерживаетесь линии платонизма - что же, одна из самых достойных традиций в интересующем нас контексте. Существуют и другие позиции, и споры до сих пор не затихают.

Единственное, в чем я усматриваю некоторую некорректность - так это Ваша формулировка. "Мир соткан из математических абстракций". Отстаивать такую позицию, безусловно, можно. Но вот термин "абстракция" здесь не к месту. Точнее было бы, переформулируя Вашу мысль, сказать, что Мир соткан из математических объектов.

Абстракция (лат. abstractio — отвлечение) - сугубо человеческая процедура, заключающаяся в мысленном отвлечении, обособлении от некоторых сторон или свойств предметов.
Поэтому из Вашего рассуждения можно сделать вывод, что мир создается мысленной активностью человека. Вы же, видимо, хотели подчеркнуть иное, а именно объективный статус математических объектов, которые не являются всего лишь плодом человеческого воображения, а обладают онтологическим статусом.

 

Пожалуй, да. Однако интересен каверзный вопрос о том, любая ли математическая структура может обрести, рано или поздно, онтологическое или даже эмирическое бытие? Как-будто ответ отрицателен, хотя эмпирический/физический мир заведомо является по меньшей мере подмножеством идеального мира Платона. Различение эмпирический-физический подсказано квантовой механикой, где физические (и математические!) волны вероятностей не являются эмпирически наблюдаемыми.

 

Онтологическое бытие математические структуры, в рамках платоновской версии философии математики, не обретают - напротив, онтологический статус им предзадан.

Если же Вы говорите о математических теориях, то в рамках платонизма ответ будет отрицательным. Потому что, согласно платонизму, существует идеальный мир математических структур и этот мир объективен. А вот математическое знание - всего лишь феноменальный коррелят этого мира в универсуме теоретической деятельности человека, осуществляемой в некоторых культурно-исторических условиях.

Математические объекты надисторичны, незыблемы, а математика как наука исторична, и в конце концов, ученые могут и заблуждаться. Поэтому эти две системы не имеют шансов совпасть, хотя бесконечно стремятся к своему совпадению. Примерно так бы ответил на этот вопрос философ математики, придерживающийся версии платонизма...

 

Термин "абстракция" ставит ударение на "улетучивание" содержания математических и следовательно "материальных" (эмпирических) объектов/предметов при ближайшем и строгом рассмотрении. Тем самым восходим к началу "Науки Логики" (Гегеля), когда не было Ничего, даже Слова , ибо Чистое Бытие неотличимо от Ничто.

 

Да, я понял Вас. Ваше употребление термина "абстракция" в настоящей дискуссии не вызывало би никаких нареканий, если бы все мы, участники беседы в этой ветке, были по умолчанию гегельянцами. А поскольку это явно не так , применение слова "абстракция" в данном контексте обладает именно тем изъяном, на который я указал выше. Тем не менее, позицию Вашу я понял, поскольку она она обладает длительной и богатой историей, и не узнать ее "в лицо" было бы невозможно.

 

Гмм..., неужели логическое гегельянство обладает такой историей? Другого, кроме старика Георга Фридриха-Вильгельма, чего-то не припомню :rolleyes:

 

А чем мир этот отличается от мира материального, эмпирического?

 

Нет-нет, конечно, я имел в виду, что сразу разглядел в вашей формулировке симпатии к платонизму в философии математики.

А про гегельянство сказал потому, что Вы сами сослались на Гегеля.

 

А вот эмпирически данный мир - жалкое подобие идеального мира (по Платону). )

Если честно, не очень понял вопроса - какого рода отличия Вы имеете в виду?

 

К сожалению мне пора, надеюсь продолжим дискуссию позже

 

Всех ссылок не изучил,(впереди выходные), но тут же возникли 2 вопроса:
1. Целиком полагаясь на мнение посетителей данной ветки, обратив внимание на дату Вашей регистрации (до поста #137 на 3-й стр.) , хотелось бы услышать: ваше мнение о возможности записи не только целого, но и любого числа (которое записывается в виде десятичной дроби) только с использованием одной цифры (см. пост #137 на 3-й странице = здесь же_)
2. ...требуемый объем тянет, как минимум, на полноценную научную статью... и/или инфолиофакториал, или нет? З павагай

 

Почему же? Ведь настоящим подмножеством является, чего только стоит квантовая парадигма с ее материальным (то бишь объективным), но ненаблюдаемым Гильбертовым пространством нелокальных векторов вероятностей

Если Платонов мир (идей, идеальный) объективен, значит является подмножеством материального физического мира, нет?

 

Хорошо. Идея по поводу того, что мир вещей несовершенен по сравнению с миром идей, у Платона проскальзывает во многих диалогах. Например - "Федр", или, может быть, "Парменид". Если хотите, могу даже процитировать, хотя и самостоятельно вполне можно найти. Дело в том, что именно эйдетический мир, по Платону, сообщает онтологическую устойчивость миру вещей. Вещи по своей сути не вечны, они разрушаются, распадаясь на части. А в мире идей все вечно. В нем, например, могут обнаруживаться объекты, "далее неразложимые", которые не состоят из частей. С помощью последней констатации Платон обосновывал, например, бессмертие человеческой души. Тело человека принадлежит к миру вещей, оно составлено из частей и поэтому стареет, умирает и разлагается, распадаясь на эти части. А почему душа не умирает? Душа, согласно Платону, не имеет частей, поэтому и не может быть разрушена, не может распадаться на части. Это - один пример несовершенства. А вот теперь другой. Возьмем любой геометрический объект. Допустим - треугольник. Это - идеальный объект. А теперь попробуем создать аналог треугольника в предметном мире. Нарисуем его мелом на доске. Измерим углы, сложим, и... 180 градусов в сумме не получится. Как бы точно мы ни старались прикладывать транспортир... Да и простую точку нарисовать нельзя, поскольку нарисованная точка будет обладать некоторой размерностью, а это против ее определения... Иначе говоря, в предметном мире нам не даны треугольники, прямые и точки. Не даны идеальные объекты. А что же тогда я нарисовал на доске? Ответ простой. Я нарисовал, конечно, не треугольник, а ЗНАК треугольника. В некотором смысле - жалкое подобие треугольника из идеального мира...
____________________________

"Если Платонов мир (идей, идеальный) объективен, значит является подмножеством материального физического мира, нет?"
____________________________

Нет. Обратите внимание на Ваше рассуждение: включая идеальный мир в качестве подмножества мира вещей, вы саму процедуру этого включения фиксируете в терминах идеального мира... Отношение множество - подмножество. Само это отношение миру вещей не принадлежит, поэтому для платоника ответ очевиден.

И еще. Если я развернул здесь платоновскую логику, это не значит, что я сам ее придерживаюсь. Я высказал предположение, что в вопросе о статусе математических объектов Вы придерживаетесь традиции платонизма, Вы согласились. Поэтому я и продолжил разговор в этом же ключе, чтобы, по крайней мере, говорить на одном языке и не спорить об основаниях. Хотя, повторюсь, есть и другие подходы, например, социокультурная философия математики (ее еще называют нефундаменталистской), активно развивающаяся последние годы. Там совершенно иной взгляд на природу мат. объектов и - шире - идеальных объектов.

 

Мне кажется, что идея о якобы "несовершенстве" мира вещей основана на недоразумении. Может материальный (объективный по Ленину , эмпирический) мир попросту слишком громадный, сложный и хаотический, дабы наши мозги могли узреть "онтологическую устойчивость" того . "Непостижимая эффективность математики в естественных науках" по Юджину Вигнеру может указывает на принципиальную строгость физического мира. А идей или объектов "далее неразложимых" не бывает, отношения, зависимости и связи обычно составляют суть любого якобы изолированного и автономного объекта, входят в само определение того. Стоит, конечно, упомянуть и о фундаментальной нелокальности, как-бы увязанности всего материального физического мира вслед за квантовой механикой.

Сами "строгие" математические структуры далеко не перфектны или незыблемы, при ближайшем рассмотрении они буквально "тают и улетучиваются" в смысле Гегеля, как уже было отмечено. Что такое точка, если задуматься? В основании концепции натурального числа лежат весьма расплывчатые и ускользающие интуиции о "прерывности", "отделимости", "локальности". Математические структуры находятся на самом лезвии, на самой грани наших познавательных способностей, без них нам крышка и как раз поэтому кажутся нам вечными и надёжными. Однако это иллюзия... . В действительности математика всегда развивалась в пределах аксиоматических систем, только те не были явно оговорены до второй половины 19 века, если забыть про "Начала" Евклида. Отсюда ощущение вечности и того, что математические факты скорее открывают, чем выдумывают, наподобие естественных наук. Когда выходят за пределы наличных (явных или неявных) аксиоматик, приходится согласовать интуиции экспертов, дабы знать о чем думаем и говорим. Пример тому та же заоблачная ТМ и аксиомы большИх бесконечностей (кардиналов): бывали предложения, которые противоречали до сих пор накопленным результатам. Высшие бесконечности не совсем то, что неограниченная последовательность натуральных чисел, тут платонизму неуютно: кардиналы Woodin-а "существуют объективно", что бы это ни значило, или профессор университета Беркли Hugh Woodin их выдумал, хоть и непротиворечивым с натуральными образом? Вслед за Гильбертом единственный признак математического или "платонического" существования осталась непротиворечивость абстрактных структур, а последняя оказалась ... недоказуемой . Разумеется, с позиций Науки Логики (Гегеля) недоказуемость эту не только следовало ожидать, но и вообще нельзя было доказать того, чего (непротиворечивости) ... не бывает :mad:

Надеюсь, можно нащупать становление понимания того, что сколько-нибудь строгие и надёжные "идеальные" объекты могут иметь место не только в нашей голове, вызванные включительно социокультурным контекстом, но и составлять ткань и сущность обычных материальных, эмпирических вещей, данных нам в ощущениях (по Ленину ). Где проходит грань - с одной стороны - между субъективными психологичекими фактами сознания, мифами, заблуждениями, галлюцинациями, грезами, видениями художников и произведений искусства и - с другой строны - точными и полезными абстракциями, которые могут иметь самостоятельное бытие вне наших мозгов, быть кирпичами для некоторой объективной реальности, если вообще имеет смысл говорить о такой? Если задуматся, контуры вещей вокруг нас размываются, проступают молекулы и атомы, которых, согласно Нильсу Бору, попросту нигде нет, НЕ существуют (!), если нам не приспичило за ними поискать . Разумеется, и без нас сама природа постоянно "охотится" за разного рода так называемыми "частицами", в результате чего они то и дело подвёртываются тут или там, то бишь локально (!), чему и обязаны "существование" и наблюдаемость нами того, что называем материальным физическим миром. Думаю, абстрактная "идеальная" сущность последнего должна уже становиться очевидной

 

Единственная социокультурная среда в математике это сообщество математиков. Направлением исследований руководят мода и личные авторитеты, конечно, но не думаю, что готовы принести в жертву строгость и (платоническую) объективность. Вековная традиция такого не позволит и математика продолжает выкапывать "вечные" Истины

 

С точки зрения физиологии мозга, психологии и тому подобных дисциплин ситуация вроде бы ясна - математические структуры это воображаемые объекты, созданные человеческим мозгом с помощью механизмов абстракции и экстраполяции. Сами объекты и их отношения взяты из реального мира.

Экстраполяция здесь очень важна - она позволяет "продолжать" эти отношения реального мира, создавая новые математические структуры. Этим и объясняются такие "чудеса", как то, что комплексные числа были разработаны в 15-м веке, а применение им в физическом мире нашлось лишь в 19-м, когда начали изучать переменный ток. Операции с матрицами были разеаботаны в сер. 19-го века, физический эквивалент найден лишь в 20-м, в квантовой механике.
(Если вдруг в математике где-то ошибся, надеюсь знатоки меня поправят.)

Или есть возражения против такого подхода?

 

Бесспорно математика в своё время (очень давно) оттолкнулась от некоторых универсальных и поэтому фундаментальных абстракций реального мира. Помимо собственного внутреннего развития (включительно путём экстраполяции) все время имел место и приход новых абстракций из того же мира. Скорее всего, однако, любым математическим структурам нельзя гарантировать применения или даже буквального до изоморфизма аналога обратно в реальном мире. Несмотря на их Платоническую природу, некоторым математическим структурам суждено, по-видимому, остаться навеки в головах экспертов как психологические факты.

 

Это понятно, что многим математическим структурам нельзя гарантировать применения в физическом мире. Вопрос в том, каковы аргументы в пользу платонизма? Есть какие-нибудь подтверждения того, что иделальные объекты находятся где-нибудь помимо нашей головы?

 

Идеальные - в смысле самые лучшие, не обязательно математические, формальные- объекты- кроме Бога и быть не должны. (Понимаю, что воинствующие материалисты, коим сам был в СССР, поперхнутся: материализует идею)
математические структуры это воображаемые объекты, созданные человеческим мозгом с помощью механизмов абстракции и экстраполяции. Сами объекты и их отношения взяты из реального мира.
Пока представляю, что из реального мира взяты только ОБОЗНАЧЕНИЯ, а смысл, который мы им придаем- наша выдумка, т.е. он, смысл, такой, каким мы его себе представляем.
Допустим, захотелось в свой мозг заглянуть. Там, как Бехтерева (институт мозга, или кто-то иной) утверждала= сплошная химия. Есть зелье приворотное и отворотное, есть философия и математика (привлекательные или противные), и есть так называемая логика= у каждого своя (если была единая на всех, то не надо было бы копья ломать: Платон= авторитет, но истина дороже).
Меня лично интересует, почему ВЫДУМАНА континуальная бесконечность, если венец человечности т.н. ИДЕАЛЬНЫЙ мозг состоит (предполагаю) из конечного числа элементарных частиц. (Если Мозг есть в вакууме- это одно, но тут речь о личной коробке).
Разве имеет значение, какая основа получения т.н. истины (Знания), которое, пока, не что иное, как просто соглашения (даже физические законы) межличностные.
Как договорятся (согласятся) исслелдователи, то и Закон. Вы в этом смысле о Платонизме? З павагай

 

Есть такая Партия (подтверждения)! Доступный нам в наблюдениях обычный физический мир соткан из идеальных объектов (абстракций) Платона. Заметим, что (теоретическая) физика по существу есть ... математика! Успех математики в описании простейших аспектов эмпирической реальности как-бы подсказывает, что в принципе все сложности и многообразие этой реальности должны иметь, скорее всего, математическое описание. Отсюда "материальность" идеальных конструкций, отсутствие принципиальной концептуальной разницы между материальным и идеальным. Попросту "материальное" предстаёт как конкретное и пока непознанное в своей полноте богатство множества элементарных абстракций в духе Гегеля.

 

Если математические структуры вами мыслимые идеальные, то им место гарантировано вами везде, в т.ч. и в физическом мире. (сам так о всех абстракциях, типа непрерывности, не думаю, не считаю их идеальными).
Наличие аргументов в пользу платонизма (с позиций платонизма)- не вопрос; Есть.
Подтверждение (полное) любых иных филосовских концепций с точки зрения своей (отличной от других философии)- НОНСЕНС. (Вы часто доказывали себе, что не правы?)
Подтверждение того, что идеальные объекты находятся где-нибудь помимо моей или других посетителей этой ветки головах есть: вы сами пример приводили. А что есть головы без этих идеальных объектов- тем паче, имеются в наличии, не только в моей стране. Ну а если вы о физическом неодушевлённом мире, то там, очевидно, идеальность (главная) одна: Смысл=Слово. Иное всё- не идеальное. (Абсолютный инфолионоль мог бы быть идеальным, но Он НЕДОСТИЖИМ, не только по теории измерений (из=за неопределённости), физически, но и теоретически, мыслимо: его наличие НЕМЫСЛИМО, что очевидно, легко доказуемо с любой позиции).
З павагай

 

Идеальных структур не бывает, даже самые фундаментальные и "очевидные" математические объекты нестроги, то бишь внутренне противоречивы в смысле Гегеля. Только некоторые, видимо, остаются лишь в наших головах (поэтому субъективны) как факты сознания, а другие "вырываются наружу", находя материальных (объективных) тезок .

Абстракция непрерывности есть довольно хорошeе приближение в широких диапазонах физических измерений и потому объективна, никак не хуже других.

С какой кстати? Само Слово не фундаментально, а есть лишь бессмысленный Знак и значит равенство Смысл=Слово неверно. Смысл заключен в физически существующих неодушевлённых абстракциях (идеальных объектах и структурах) и здравствует сам по себе.

Не понял :rolleyes:

 

1. в физческом мире- в головах? (Хотя там, в мозге- сплошная химия- даже Любовь!).
Т.е. Вы праВЫ.
2.довольно хорошeе приближение в широких диапазонах... Помнится Владимирович после упоминания о сколь угодной точности в отношении континиума о пистолете (зачеркнуто) вспомнил.
приближение и абстракция непрерывности? Связи такой Не понял :rolleyes:
3.Смысл- слово, подразумевал, напечатал Смысл=слово. Сейчас? Да так и считаю, так как для материалистов
есть лишь бессмысленный Знак,
для верующих- Слово,
для всех остальных- то что им химия или физика мозга подсунет (втемяшится в башку какая блажь...Некрасов), например, инфолиопонятие (от смысла слова ничто до нечто и т.п.).
Повторюсь: ЛУЧШЕГО, с наиболее глубоким смыслом, высказыввания о СМЫСЛЕ, чем у Крес-Крыс ПОКА мне не надо:
Смысл это ТО, что мы сами придаем чему-то (у каждого - своё, иногда- имеющее общее что-то. Например 100 г вам, мне или слону - не одно и то же, так и слово.

по п.4. Отдельно, см. ниже.

 

4.так тут подразумевается всё та же инфолиокоординатная система в которой Фсё-все по трём основным направлениям легко просматривается http://infolio.at.tut.by/IKS_iks.htm - по материальному, по абстрактному, по идеальному. (Там нет НУЛЯ материального, смысла-ощущения идеального, НУЛЯ информации (т.е. по вашей терминологии даже не мыслится истинным, что
есть лишь бессмысленный Знак. (Его, знака, там тоже нет тем более. Знак, которого нельзя понять, даже "заметить, зафиксировать, даже помыслить", ну проще, это более недостижимо, чем абсолютный ноль, точнее недостижимо по всем трем инфолионаправлениям одновременно:
по Шопенгауэру, (убеждён, что всё есть, если некий глаз это видит)
материалистически, (материя неуничтожима и вездесуща)
теофилософски. (Бог в моих постулатах не нуждается).
Всё Это следствие из одного единственного постулата инфолиократности= было, есть и будет только СЧЁТНОЕ число наиболее общих теорий ИКС (Інфоліякратнай карціны сусвету, что на русском будет = ИКМ - инфолтократной картины Мира, желательно тоже назвать ИКС - типа индивидуальная картина сущности).
Это та самая мечта, что кроме ВАШЕГО
"есть лишь бессмысленный Знак", утверждения
приемлемого для ЛЮБОГО подхода, будет и общеприемлемым ГИПОТЕТИЧЕСКАЯ возможность представить весь Мир в виде точки в iKS, а саму эту інфоліокоордінатную сістему во всем Міре- тем более в віде БУКАВ- точкі, знака (однім- бессмысленного, матеріально фіксіруемого набора букв в виде слов, другим- интересного, мыслимого, привлекательного и наглядного, подобно декартовой системе, третьим (даже ИИ) - удобопредставимого ПО-СВОЕМУ. Но количество всех ИХ, всевозможных, мыслимых и неизвестных пока представлений - счётно! (Причем положительно больше нУЛЯ). З павагай