Парадоксы теории вероятностей

Ставьте 1 (один) цент. Не прогадаете!

Vladimirovich, похоже, имеется в виду, что если орел выпал 2 раза, то у нас в кармане уже 1+2=3 доллара, и т.д. По крайней мере, тогда понятно, в чем парадокс: если пока не потерял все, то продолжать игру всегда "выгодно".

По моему, если правильно понял, то никакой сумы не выгодно давать для участие в такой игры, потому что рано или поздно выпадает "решка"!!!!

все-таки, учтите что игрок может по своему желанию прекратить игру в любой момент, он не обязан ждать пока выпадет решка

Конечно, все выигрыши суммируются. Извиняюсь, если это не было понятно из условий задачи. Т.е., если четыре раза выпал "орел", то выигрыш составит:
1+2+4+8=15$
Но, если пятым броском выпадет "решка", то станет 0.
Главное, что вы платите только один раз до начала игры и ловите свою серию "орлов".
А вот сколько можно платить - нужно решить...

Честно сказать, я по памяти воспроизвел не совсем то, что нужно
Сейчас освежил память и привожу классический вариант этого парадокса:
В банке (казино) изначально находится 1$. Если выпадает "орел" - в банке становится 2$, если еще раз "орел" - 4$ и т.д. А если "решка", то игра прекращается и вы забираете банк, который накопился за предыдущие броски.
И, главное, нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру выгодной для казино!
Согласитесь, разница есть

Поскольку ближайшая сумма, меньшая чем $1, это 99 центов, то их не жалко поставить.
Примерно столько же, сколько на выигрыш Крамником матча.

Банк пополняет казино, забирает игрок, который должен до игры единоразово заплатить некую сумму за саму возможность сыграть в такую игру.
Спрашивается, какую минимальную вступительную сумму должно взять с игрока казино чтобы игра была выгодна для казино.

ну, тут сразу получается что средний выигрыш игрока равен бесконечности (даже никаких стратегий остановки рассматривать не надо, играй себе, пока решка не выпадет). Только я так и не понял, в чем же тут все-таки парадокс...

Сколько Вы заплатили бы за возможность сыграть в такую игру?

я - ну, допустим, заплатил бы X. Вы - может быть, даже Y. Билл Гейтс - он так вообще смог бы выложить Z. Но понятно, что размер взноса зависит от капитала игрока; этот взнос должен быть таким, чтобы игрок смог сыграть в эту игру достаточно большое количество раз (так, чтобы вероятность его разорения стала очень малой).

В задаче, однако, спрашивается какой взнос должно установить казино, а это совсем другое дело. Думаю, что любой "разумный" взнос приведет к разорению этого казино - найдется достаточно богатый человек (или группа людей), способные этот взнос заплатить достаточно много раз. Вообще, выгодной для казино эта игра быть не может. Если взнос уж ну очень сильно большой - никто играть не будет. Если же будут много играть, то казино неминуемо останется в проигрыше.

Да, все верно.
Парадокс в том, что теория плохо согласуется с практикой
При теоретически бесконечном матожидании, в реальности оно растет очень медленно (логарифмически) при астрономическом росте банкролла казино. Стоит казино ограничить максимальную выплату, как это и принято во всех казино, допустим $1 млн., и реальное матожидание становится равным порядка 11$, а если максимальная выплата $1 млрд., то матожидание увеличится примерно на $5 и составит порядка $16.

http://avva.livejournal.com/1980790.html
ой, меня опять запутали (длинное со ссылками о парадоксе Монти-Холла)

Коля, я об этом писал - и, имхо, проще и понятнее - в том самом 1-м обсуждении.
Всё дело в том, что все разговоры о вероятности имеют смысл только при рассмотрении нашего конкретного случая как одного из многих однотипных. Тут и зарыта собака. Очевидно, "правильное" понимание слова "однотипные" здесь - каждый раз приз случайно кладётся в один из ящиков, а ведущий каждый раз открывает свой - пустой. С чем и связана идиотическая мантра о том,что ведущий открывает пустой нарочно. Да наплевать нам, почему - чудом, по наитию или знает. Важен факт - открывается пустой.
Интуиция же и запутыватели подменяют правильное понимание на другое - с равной вероятностью ведущий открывает один из своих ящиков.
Т е интуиция бессознательно, а запутыватели совершенно сознательно заставляют заниматься не задачей, а вопросом: "А почему открытый ведущим ящик оказался пустым?"

Эта задача была разобрана у того же Гарднера .
Что значит "случайно проведённая хорда"? Можно привести несколько способов построения "случайной хорды", при этом результат в каждом случае будет разный.

на самом деле, в этой задаче тоже не все так просто. Там можно все-таки определить "естественным образом" что такое "случайная хорда". Завтра постараюсь рассказать подробнее (сейчас времени нету, только что вернулся из поездки), пока только скажу, что "правильный" ответ (т.е., более правильный, чем остальные) 1/2

вроде, там довольно разумно все изложено. Действительно, вероятность выигрыша игрока при стратегиях "меняю" и "не меняю" зависит от того, как действует ведущий. Например, если мы предположим что ведущий сам не знает, где автомобиль и открывает одну из своих дверей случайным образом (и игра начинается сначала если ведущий открывает дверь с автомобилем), то вероятность выигрыша при стратегии "меняю" равна 1/2, а вовсе не 2/3.

Про парадокс Бертрана (http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand's_paradox_(probability)). В классической его версии рассматриваются 3 способа построения хорды:

1. берем 2 независимых случайных (с равномерным распределением) точки на окружности, проводим хорду

2. берем случайный радиус, на нем берем случайную точку, проводим перпендикуляр

3. берем случайную точку в круге, проводим через него радиус и перпендикуляр к нему.

Естественно, получается что искомая вероятность для каждого из этих способов будет своя. Далее обычно говорят что нет причин предпочесть один из этих способов, и поэтому нельзя "хорошо" определить, что же такое "случайная хорда". Однако, не все так просто...

Давайте подумаем, что вообще значит "случайно" выбрать (подразумевается: равновероятно, с равномерным распределением) элемент из какого-либо множества. Мы легко можем это сделать для конечного множества, либо для отрезка [a,b], либо вообще для любой области в R^d. Пусть у нас есть, например, группа из N людей, и мы оттуда случайно выбираем одного человека. Далее, предположим что в этой группе K мужчин. Тогда, при условии что случайно выбранный человек - мужчина, вероятность выбрать данного конкретного мужчину равна 1/K, т.е., мы получаем равномерное распределение на подмножестве мужчин. Нетрудно видеть, что аналогичная вещь верна и для непрерывного равномерного распределения: при условии что случайно выбранный элемент принадлежит данному подмножеству, получаем случайно выбранный элемент из этого подмножества.

Итак, неплохо бы чтобы подобного рода факт был верен и для случайных хорд. Вот пусть у нас есть теперь 2 окружности, одна внутри другой. Выбираем (по какому-нибудь правилу) случайную хорду в большей окружности, и рассмотрим ее пересечение с меньшей окружностью, при условии что пересечение есть. Тогда, получаем хорду в меньшей окружности, порожденную хордой в большей окружности. Было бы хорошо, если эта "порожденная" хорда имела такое же вероятностное распределение, как просто случайная хорда в меньшей окружности, построенная по тому же правилу. Так вот, оказывается что это действительно так для метода (2) описанного выше (и для методов (1) и (3) это не так). Это совсем легко доказать, если две окружности концентрические, если нет, то это неплохое упражнение

Более того, таким образом мы можем определить, что такое "случайная хорда" в любой выпуклой конечной области (просто проведем вокруг нее окружность, и будем рисовать случайные независимые хорды в этой окружности по методу (2), пока не пересечем нашу область). Тогда, например, верен такой интересный факт: средняя длина случайной хорды всегда равна \pi * (площадь области)/(периметр области). Кстати, можно даже определить понятие случайной хорды и для невыпуклых областей, с сохранением этого свойства.

А почему так сложно все обьяснено? Случайная хорда, ето хорда на случайное разстояние r: 0<r<R, где R - радиус окружности

я имел в виду, что тогда мы заново случайным образом перераспределяем призы и играем снова

здесь я не совсем согласен. Пусть стратегия ведущего такова (будем считать, что 3 двери - это 3 выхода из круглой комнаты): всегда открываю следующую по часовой стрелке дверь (после той, которую открыл игрок) если там коза; а если там автомобиль, то тогда открываю следующую против часовой стрелки дверь. Тогда, если игрок про эту стратегию знает, и если ведущий открыл следующую против часовой стрелки дверь, то, меняя свой выбор, игрок выигрывает с вероятностью 1.

ну да, это соответствует методу (2), если я Вас правильно понял. Но ведь надо же еще объяснить, почему этот метод лучше методов (1) и (3)

Я не знаю, почему лучше. Ну кажется удобнее, так как задача перефразируется на Какова вероятность, число r: 0<=r<R быть < r1, <r2, <r3 где r1,r2,r3 являются разстояния центр окружности от стороны произвольного вписаного треугольника. Правильно так? Это конечно не решает ничто. Решение наверно не просто. Надо подумать всерез.

С какой стати длина хорды меньше радиуса? Диаметр тоже хорда.

имеется в виду, конечно, что треугольник равносторонний. А "парадокс" в том и состоит, что есть несколько "естественных" способов выбрать случайную хорду, и априори не ясно, который из них лучше.