Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Во! Цэ дило!
Именно так.

 

Гм. Если волк не может изменить направление движения, то и зайцу не имеет смысла хитрить. Он тогда на втором этапе сразу выберет какое-то одно направление и не будет его менять.

 

Волку не выгодно менять направление только после пересечения зайцем критической окружности. В момент пересечения ситуация симметрична, и волк может выбрать любое направление. Заяц, располагая запасом по времени, может заставить волка определиться первым.

 

Я писал только про второй этап, то есть, после пересечения зайцем критической окружности. Вы сейчас снова подтвердили, что волку не выгодно менять направление после этого момента. И я указал на то, что если это так, то и зайцу тогда не имеет смысла менять направление.

 

Да, все верно, если волк и заяц ведут себя оптимально, то направления менять не надо. Но если волк сменит направление, то и заяц должен сменить. Но в момент пересечения критической окружности возникает "сингулярность", оба должны выбрать направление одновременно. Конечно заяц может сделать несколько попыток, пока волк не ошибется, но проще выполнить выжидательный маневр.

 

Эта задача не из теории игр. Точнее, может, и оттуда, но не обычная. Понятие оптимальности тут немного другое - оно существует только для того, кто выигрывает. Проигрывающему без разницы как действовать. Например, если заяц слишком медленный, то его "оптимальная" стратегия - любая. Он может хоть в зубы к волку сразу приплыть, чтобы быстрее отмучаться и не сдохнуть с голоду или утонуть.

 

Как раз из теории игр, там много разделов. Есть всякие игры преследования, дифференциальные игры и т.д. Для медленного волка легко придумать критерий оптимальности. Например, минимизировать расстояние до зайца в момент достижения берега. Для медленного зайца, скажем минимизировать время, которое волк может простоять на месте.

 

Да, придумать-то критерий легко, только это уже другая задача будет. И так было бы даже проще. Я порывался решать, используя всякие такие критерии, но потом понял, что это ложный путь.

 

Я не припоминаю такой задачи в школьных учебниках, зато в сети лет десять назад видел что-то подобное, только лодка фигурировала вместо зайца. В любом случае, особых хитростей вроде нет, пока угловая скорость зайца выше чем у волка (центр озера), стратегия последнего не имеет значения - заяц все равно займет наиболее выгодную позицию для марш-броска. Далее заяц продвинется на бесконечно малое расстояние dr в сторону берега, вынудив волка определиться. После этого зайцу надо выбрать целевую точку, которая будет расположена под углом от нуля до пи-пополам от волка (плыть в сторону волка заведомо невыгодно, а при повороте более чем на пи-пополам заяц вернется в центр, что ведет к повторению позиции).

Итак, волк не может развернуться, т.к. находится на короткой стороне и при попытке возвращении окажется в аккурат напротив зайца, уже продвинувшегося к берегу. Заяц будет плыть по прямой, т.к. озеро предполагается изотропным. Разница во времени прибытия будет функцией от выбранного направления - возрастать до угла примерно 5/3 радиан, потом падать. При увеличении скорости волка до значений 4.4-4.6 зона безопасной высадки будет стягиваться к указанной точке. Однако, 1.67 рад - это больше пи-пополам, что нарушает упомянутые условия (на практике такая стратегия развернет волка). Поскольку функция разницы во времени прибытия непрерывна и имеет единственный экстремум, то поворот на 90 градусов оказывается оптимальным.

Тогда критическая скорость волка определяется уравнением sqrt(v**2-1) = arccos (1/v)+pi; что в грубом приближении дает три пи-пополам, а в десятичной записи - где-то 4.6.

 

В принципе правильное решение уже 2 раза прозвучало.
Правда не рассматривались попытки улучшить стратегию Волка на последнем этапе...

 

Если скорость волка более чем в 4.6 раз превышает скорость зайца, то одна из стратегий такова:

1. пока заяц внутри радиуса R/v - придерживаться выжидательной тактики (R - радиус озера, v - скорость волка, выраженная в скоростях зайца);
2. при пересечении зайцем окружности радиуса R/v с максимальной скоростью бежать по короткой стороне вплоть до занятия позиции на линии центр-заяц-волк;
3. при достижении зайцем края озера завершить миссию, при возвращении зайца в "центр" - перейти к п. 1.

Если скорость волка меньше 4.6, то выигрышной стратегии не существует, для нормирования проигрышных стратегий требуется ввести доп. критерий (напр., экономия собственных сил или удлинение маршрута зайца).

 

Вообще-то задача - определить соотношение скоростей.
Подразумевается, что заяц и волк при этом следуют оптимальной для себя стратегии.
При этом для волка была предложена такая стратегия:
1. Ждать, пока заяц достигнет круга R/v с противоположной стороны, потому что воспрепятствовать этому не может.
2. Сразу после этого бежать сломя голову на другую сторону озера, пробегая при этом путь немного меньше, чем 3/4 круга (с учетом стратегии зайца).

Я высказал предположение, что возможно у волка существует более оптимальная стратегия, которая может изменить решение.

 

Соотношение скоростей - 4.6 (примерно). Если меньше, никакая стратегия волку не поможет: бессмысленно разворачиваться находясь на "короткой" стороне (tgφ > φ, если говорить о геометрической интерпретации), бессмысленно и бежать медленнее (вроде очевидно).

Остается заметить, что времени заяц потеряет не так много. Если волк на первом этапе будет метаться с максимальной скорость, путь зайца удлинится лишь в пи-пополам раз; если скорость волка близка к 4.6, то придется сделать маневр с поворотом на 90 градусов - все вместе обойдется в 32% к радиусу озера (который по любому придется проплыть, даже в отсутствии волка).

 

Вспомнилась "Алиса в стране чудес" ...." А чтобы оставаться на месте нужно бежать в 2 раза быстрее."

Медленно бежать наверное смысла нет. А вообще постоять какое-то время, чтобы потом пришлось бежать меньше?

Прям неудобно на шахматном форуме рассказывать, какие преимущества иногда может дать выжидательный ход.

 

Если речь о стратегии зайца - когда он находится на диаметрально противоположной стороне от волка, то "...продвинется на бесконечно малое расстояние dr в сторону берега, вынудив волка определиться". Если волк остановится по прохождении незначительного расстояния (менее двух радиан), то такая ситуация возникнет. Учитывая, что при скорости меньше 4.6 волк не может поймать зайца, то с его точки зрения разумно, наверное, "постоять какое-то время, чтобы потом пришлось бежать меньше". Ему вообще не придется бежать, по крайней мере, пока на шесте не появится медленный заяц.

На всякий случай еще раз напишу, что если на достаточно ранней стадии волк развернется в обратную сторону, то заяц повернет 90 градусов от волка при пересечении оным диаметрально противоположной точки (возможно, в этом и не будет необходимости, просто следуем установленному алгоритму). С каждой остановкой, с каждым разворотом дела волка ухудшаются.

Строго говоря, указанный алгоритм - оценка снизу, т.к. оптимальная точка лежит чуть далее пи-попалам, то заяц может постепенно выбрать недостающие градусы. Прикладного значения такая стратегия не имеет, т.к. в окрестности экстремума производная разницы во времени прибытия по углу практически нулевая, так что даже плывя по прямой (в предположении, что волк не развернется) выигрыш составит доли процента (вспоминается школьная задача, кто больше около нуля - sin tgφ или tg sinφ?) Поскольку придется сделать небольшой крюк, то и того нажить не удастся.

P.S. Sorry, я пропустил одну страницу обсуждения. Решение давным-давно было выложено.

 

Итак, прошли первый этап. Заяц находится на окружности в оппозиции к волку.
Если сейчас волк начинает свой забег - заяц поворачивает в противоположную сторону под прямым углом к диаметру. Это тоже понятно.

А если волк стоит на месте - заяц продолжает плыть прямо, к противоположному берегу.
Далее, когда волк стартанет и заяц повернет под прямым углом - зайцу останется проплыть чуть меньше, чем первоначально. Но и дистанция волка при этом также уменьшится.

 

Разница во времени прибытия - монотонная возрастающая функция от положения зайца на интересующем нас интервале (R/v;R), производная везде положительная. Значения самой функции при v=4.6 изменяются от 0 до 0.68*R/скорость_зайца.

 

Если волк остается на месте, а заяц поворачивает под прямым углом в какую-то сторону - волк побежит по кратчайшему расстоянию к месту встречи, пробегая вместо 3/4 круга только 1/4. Надеюсь, это понятно.
Поэтому если волк остается на месте, то заяц должен плыть к противоположному берегу. Волк может не торопиться стартовать, потому что к противоположному краю озера он успевает с запасом. Это при соотношении скоростей 4,14 (то есть pi+1) он должен был бежать сразу, а при соотношении 4,6 - успеет и немного погодя. Тем более, что и окружность R/v стала меньше.
Таким образом, приближаясь к противоположному берегу, заяц вынужден плыть не оптимальным маршрутом и уменьшает при этом время прибытия волка в точку встречи.

 

Если заяц проплыл, допустим, 10% пути к берегу, то, в рамках рассматриваемого алгоритма, волку предстоит бежать несколько меньше. Не 0.67 длины окружности, а где-то 0.65. Как подсказывают здравый смысл и прямая проверка, выигрыш волка заведомо уступает выигрышу зайца. Пока волк стоит, заяц плывет по наиболее экономному маршруту - к ближайшей точке на берегу, одновременно удаляясь от волка с максимально возможной скоростью. Эти соображения должны навести несчастного представителя фауны на мысль, что его концепция не лишена изъянов.

 

Однажды дикий Муцио выиграл турнир в городе Оттава-столице Канады. И один математик сочинил ребус на сложение
WILD+MUZIO=OTTAWA и посвятил его победе нашего героя. Расшифруйте сложение.

 

https://tjournal.ru/p/14-years-old-math
Задача странная, с решением я не согласен. А каково мнение форумчан ?

 

http://kasparovchess.crestbook.com/threads/1139/page-44#post-611462

 

Да, спасибо. Я давал поиск по Шери и Альберт и не нашел в этой ветке
Но я не понял решения (нашел в интернете). Во первых Альберт говорит - я не знаю решения. К чему это? Ясно, что не знает. Зачем это вообще в задаче озвучивать?
Потом он говорит - и "Бернар не знает тоже". Тоже ясно, откуда же Бернар может знать? Бернару логично ответить - спасибо, а то я думал, что знаю и молчу! Или тоже самое, по другому: представьте, что вы Бернар. Вы не знаете, конечно. К вам поворачивается Альберт и заявляет - "а ты дружок не знаешь !" И что изменилось для вас?
Единственно что ясно, что это не 19 мая и не 18 июня (раз Бернар молчит). Что я вижу ещё, что Бернар, исходя из того, что Альберт молчит, может понять что это не 17 июня, иначе, если б Шери шепнула Альберту июнь - он бы сообразил, что, может быть только 17 июня.
Если б Альберт еще сказал, типа - " исходя из того, что мне сообщила Шери, у Бернара нет шансов логически найти ответ", тогда еще можно было бы думать дальше, а то просто - "не знает".
Объясните, кто знает решение, плиз.

 

Да, она была про Анку.

Да, это не нужно.

Бернар мог знать. Если бы ему сообщили число 19, то он бы знал, что это 19 мая.

Бернара никто не спрашивал, а сам он не обязан ничего говорить. Когда захотел, тогда сказал. Теоретически он мог знать полную дату с самого начала.
Но Альберт смог вычислить, что Бернар полную дату знать не может.

Из того, что Альберт молчит (не молчит совсем, но ведь имеется в виду часть его сообщения - конкретно о том, что он не знает дату?), никто - ни мы, ни Бернар пока не можем сделать никакого вывода. В каждом месяце минимум по два дня-кандидата, т.е., никакой месяц, сообщённый Альберту, не подсказал бы ему точно день.

Альберт именно это и имел в виду! Так что можете думать дальше.

 

Давайте уберем из условия задачи 18 июня и 19 мая ?! В них нет смысла, ибо если Бернару скажут одно из них, он сразу догадается и веселья не будет. То есть Шерри не шепнёт эти числа Бернару. И зачем они нужны тогда ?

 

Если убрать 18 июня и 19 мая (заодно и 17 июня придётся тогда), никто не сможет вычислить дату.
Нужны они потому, что Шерил проверяла уровень интеллекта новых друзей, а без этих чисел задача вырождается. В принципе, мало какие задачи содержат и на 100% математически корректные, и полностью осмысленные (в бытовом плане) условия. А те, которые содержат, будут скучны.

 

Забыли про мой ребус с именем Муцио. висит нерешенный.

 

Что там решать-то? http://planetcalc.ru/1585/

 

Shipov-Crest=Short.

 

но это ребус на вычитание. расшифруйте его.

 

104756 - 93218 = 10538

 

точно!

—- добавлено: 15 янв 2016 —-

А такое. FORT+POST=FAVOR.

 

16