Математические задачки. Морковкин, скучаем :-)

Боюсь, что я ничего не понял. Уж не хочешь ли ты сказать, что формула
n*(tg(x)**(n+1) + tg(x)**(n-1))
является выражением для n-ой производной от тангенса?

Боюсь Вас расстроить MS, но n-ая производная от тангенса является немного более сложным полиномом степени n+1 по переменной tg(x). Напимер, 11-ая производная от тангенса равна

PS Ответы к задачке про тангенсы очень короткие и элегантные. Это я говорю тем, кто боится увязнуть в длинных выкладках.

Совершенствуемся потихоньку.

Мои ответы на задачку Михаила:

1) (3^12346-1)/2/(2^12346-1)
2) 2^12345
3) (3^12346-1)/2

Как ни странно, основная идея решения такой вроде бы отвлеченной задачки оказалась та же самая которая месяц назад мне потребовалась для очень прикладной проблемы для моей статьи. Поэтому и решил.

Вроде начали появляться правильные ответы. По всей видимости Ваш ответ 2^n An соотвестствует значению f(pi/4). Вычисляя отношение f(pi/4)/f(0) можно избавиться от An. В результате получается простое соотношние
f(pi/4)/f(0)=2^n, n=2*k+1

Осталось разобраться с аргументами pi/6 и pi/3.

Блестяще! Все ответы верные. Какой метод использовали?

Я пользовался разложением тангенса в ряд главных частей (по фермионным мацубаровским частотам) ( tg(x)=-\sum 1/(x-x_n), x_n=pi*n+pi/2 ). После этого ответ получается в две строчки.

В статье
http://www.emis.ams.org/journals/EJC/Volume_6/PDF/v6i1r21.pdf
использовался метод производящих функций.

Я не пользовался никакими формулами кроме суммы геометрической прогрессии:

tan(x) = sin(2x)/(1+cos(2x)) = -2 Im{1/(1+exp(2ix)} = -2 Im{sum_[k=0]^[k=inf] (-1)^k exp(2ikx)} .
(это не совсем очевидное разложение и понадобилось мне ранее, точнее разложение очевидно, неочевиден второй знак равенства).
Далее все просто: (2n+1)я производная равна f(x) = -2 Im{sum_[k=1]^[k=inf] (-1)^k {2ik)^{2n+1}exp(2ikx)} или после упрощения f(x) = 2^{2n+2}(-1)^{n+1} sum_[k=1]^[k=inf] (-1)^k k^{2n+1} cos(2kx)}.
Ну и подставляем значения x, только надо немножко преобразовать cos(pi k/3) и все.

Красиво. Хотя у меня есть знакомые (математики), которые бы онемели бы от такого вольного обращения с расходящимися рядами.

К счастью я не математик и могу делать с рядами что угодно

Кстати Maple например дает sum_{k=1}^{k=inf} (-1)^k k^3 = 1/8

Такой результат даёт метод суммирования Бореля. Ряд недостаточно сильно расходится, чтобы впадать в панику.

1

Vladimirovich все абсолютно однозначно (каламбур)
подсказка 1 - задача геометрическая
подсказка 2 - с помощью Гугла решение находится за пару секунд )))

Задачка про три конверта.

Знание - да, но было еще и действие. Если ведущий знал, что в конвертах и специально вытащил пустой (а он всегда может это сделать), то вся вероятность оказалася во втором конверте. Рассмотрите эквивалентную задачу - есть колода в 52 карты, выигрывает, скажем, туз червей. Вы тащите одну карту. Потом ведущий переворачивает колоду, не показывая вам, и выкидывает 50 карта, заведомо не являющимися тузом червей. В итоге осталось две карты, очевидно вероятность выигрыша распредлена между ними как 51:1, так как никакого изменения по отношению к вашей карте не произошло, ведущий проделал действия, которые он всегда может проделать. Второй случай, с теми же конверами, но ведущий тянет наугад. Переформулируем задачу. Пусть трое человек вытащили по одному конверту. Потом один из них открыл свой конверт и объявил, что у него "пусто". Ясно, что двое оставшихся совершенно равноправны, и шансы на выигрыш у обоих равны 1/2. Отличие от первого случая в том, что не всегда открывший конверт скажет, что у него "пусто", иногда он выиграет. А это значит, что в после его ответа в системе появилась новая информация, повысившая шансы игроков до 1/2.

http://bazar-wokzal.livejournal.com/31298.html
http://bazar-wokzal.livejournal.com/31556.html

Не убедительно, хотя до конца не прочел. Варианта два, если ведущий ВСЕГДА открывает пустой конверт, то тогда 1/3 и 2/3, если с вероятность 2/3, то 1/2 и 1/2. Если не поленюсь, то проведу следующий эксперимент, сдается три карты с тузом червей. Выбираю одну, потом открываю одну из оставшихся. Если это туз червей, то раздачу не считаю и начинаю заново. Если не туз червей, то считаю статистику. Уверен, что в такой постановке вероятности будут 50 на 50.

Совершенно правильно уверены. Так и будет - 50 %

А вот и нет Попробуйте - получится один к двум.

Обьясняю на пальцах. Пусть эти 3 карты раздали 999 раз. 333 раза ТЧ будет в одиночке, 666 - в двойке. Половину - 333 раза - из этих 666 т. Kirr из стаистики выкинет. Вот и получится у него 50 на 50.

А вы попробуйте
В постановке Кира - не выкинет из статистики, а не будет учитывать такие раздачи.
А это - две большие разницы
Т.е., "объясняю на пальцах", они в ваши 999 вообще не попадут.

Для меня самый неожиданный пример, когда интуиция не срабатывает следующий - обернем вокруг Земли веревку, потом удлиним ее на метр. Кажется, что она отойдет от Земли совсем чуть-чуть, а на самом деле на примерно на 15 см.

Это как отойдёт, если равномерно — то да
А если оттянуть — то больше 100 метров кажется

Ух, прям монстры какие-то. Помню, бился в школе над квадратными уравнениями, но так ничего и не понял. Пойду выпью.

Cпрашивается: в стремлении повысить шанс вытягивания ТЧ стоит ли отказаться от первоначального выбора в пользу единственной оставшейся карты после того как ведущий заведомо вытащил не-ТЧ или заведомо наугад. Если отказаться и вместо того взять оставшуюся карту, не пропадешь: если ведущий заведомо вытаскивает не-ТЧ, твой шанс на ТЧ поднимается с 1/3 на 2/3; если он берет 2-ую карту наугад, шанс получить ТЧ от последней 3-ей карты такой же, как от 1-вой: 1/3.

Пример Григория 999 и ведущий наугад: 333 раза ведущий заведимо вытащит не-ТЧ (это Ваши 333 ТЧ), из остальных 666 333 ТЧ ему и значит 333 ТЧ остаются для Вас. То есть все равно получаете 333 ТЧ 1-вой или после отказа 3-ей картой.

Не знаю, Хайдук, может я не доходчиво объяснил в своем посте #587?
Повторю еще раз - те раздачи, в которых ведущий сразу откроет туза, мы вообще не учитываем. Иначе это будет совсем другая задачка.
Вообще, кто не знает, поясню, что речь идет о так называемом парадоксе Монти Холла:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла
Там, кстати, и пример с картами рассматривается, правда в несколько иной формулировке, но суть от этого не меняется.

Я понимаю, Нестор, что вышел за пределы Mонти Холла . Пытаюсь рассудить всякие стратегии ведущего, направленные на срыв моих 2/3 шансов, приходится вспоминать условные вероятности и т.п.

Григорий, спасибо, задача с конвертами очень показательная

Кстати о задачках, не знаю, м.б. все и знают:
"Х в степени Х в степени Х в степени Х в степени Х.................до бесконечности = два"
Предлагалась на олимпиадах по математике за 8-й класс. Прикольно